Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Comment déterminer une équation de droite ou l'expression affine d'une fonction - Exercice 1

20 min
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Question 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine ff puis donner son sens de variation.

f(2)=5f\left(2\right)=5 et f(4)=9f\left(4\right)=9.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(2)f(4)24a=\frac{f\left(2 \right)-f\left(4 \right)}{2-4 }
a=5924a=\frac{5-9}{2-4 }
a=42a=\frac{-4}{-2 }
a=2a=2

Ainsi : f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(4)=9f\left(4\right)=9 et comme f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b, il en résulte donc que :
2×4+b=92\times4+b=9 équivaut successivement à :
8+b=98+b=9
b=98b=9-8
b=1b=1

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=2>0a=2>0. Il en résulte donc que la fonction x2x+1x\mapsto 2x+1 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 2

f(1)=2f\left(1\right)=2 et f(2)=1f\left(2\right)=-1.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(1)f(2)12a=\frac{f\left(1 \right)-f\left(2 \right)}{1-2 }
a=2(1)12a=\frac{2-\left(-1\right)}{1-2 }
a=31a=\frac{3}{-1 }
a=3a=-3

Ainsi : f(x)=3x+bf\left(x\right)=-3x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(1)=2f\left(1\right)=2 et comme f(x)=3x+bf\left(x\right)=-3x+b, il en résulte donc que :
3×1+b=2-3\times1+b=2 équivaut successivement à :
3+b=2-3+b=2
b=2+3b=2+3
b=5b=5

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x+5f\left(x\right)=-3x+5.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=3<0a=-3<0. Il en résulte donc que la fonction x3x+5x\mapsto -3x+5 est une fonction décroissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 3

f(4)=21f\left(4\right)=21 et f(1)=4f\left(-1\right)=-4.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(1)f(4)14a=\frac{f\left(-1 \right)-f\left(4 \right)}{-1-4 }
a=42114a=\frac{-4-21}{-1-4 }
a=255a=\frac{-25}{-5 }
a=5a=5

Ainsi : f(x)=5x+bf\left(x\right)=5x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(4)=21f\left(4\right)=21 et comme f(x)=5x+bf\left(x\right)=5x+b, il en résulte donc que :
5×4+b=215\times4+b=21 équivaut successivement à :
20+b=2120+b=21
b=2120b=21-20
b=1b=1

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=5x+1f\left(x\right)=5x+1.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=5>0a=5>0. Il en résulte donc que la fonction x5x+1x\mapsto 5x+1 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 4

f(8)=0f\left(8\right)=0 et f(12)=3f\left(12\right)=-3.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(8)f(12)812a=\frac{f\left(8 \right)-f\left(12 \right)}{8-12 }
a=0(3)812a=\frac{0-\left(-3\right)}{8-12 }
a=34a=\frac{3}{-4 }
a=34a=-\frac{3}{4 }

Ainsi : f(x)=34x+bf\left(x\right)=-\frac{3}{4 }x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(8)=0f\left(8\right)=0 et comme f(x)=34x+bf\left(x\right)=-\frac{3}{4 }x+b, il en résulte donc que :
34×8+b=0-\frac{3}{4 }\times8+b=0 équivaut successivement à :
6+b=0-6+b=0
b=6b=6

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=34x+6f\left(x\right)=-\frac{3}{4 }x+6.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=34<0a=-\frac{3}{4 }<0. Il en résulte donc que la fonction x34x+6x\mapsto -\frac{3}{4 }x+6 est une fonction décroissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 5

f(0)=5f\left(0\right)=-5 et f(2)=4f\left(2\right)=-4.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(0)f(2)02a=\frac{f\left(0 \right)-f\left(2 \right)}{0-2 }
a=5(4)02a=\frac{-5-\left(-4\right)}{0-2 }
a=5+42a=\frac{-5+4}{-2 }
a=12a=\frac{-1}{-2 }
a=12a=\frac{1}{2}

Ainsi : f(x)=12x+bf\left(x\right)=\frac{1}{2}x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(0)=5f\left(0\right)=-5 et comme f(x)=12x+bf\left(x\right)=\frac{1}{2}x+b, il en résulte donc que :
12×0+b=5\frac{1}{2}\times0+b=-5 équivaut successivement à :
0+b=50+b=-5
b=5b=-5

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=12x5f\left(x\right)=\frac{1}{2 }x-5.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=12>0a=\frac{1}{2}>0. Il en résulte donc que la fonction x12x5x\mapsto \frac{1}{2}x-5 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 6

f(2)=18f\left(2\right)=18 et f(1)=6f\left(-1\right)=-6.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(2)f(1)2(1)a=\frac{f\left(2 \right)-f\left(-1 \right)}{2-\left(-1\right) }
a=18(6)2+1a=\frac{18-\left(-6\right)}{2+1 }
a=18+63a=\frac{18+6}{3 }
a=243a=\frac{24}{3 }
a=8a=8

Ainsi : f(x)=8x+bf\left(x\right)=8x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(2)=18f\left(2\right)=18 et comme f(x)=8x+bf\left(x\right)=8x+b, il en résulte donc que :
8×2+b=188\times2+b=18 équivaut successivement à :
16+b=1816+b=18
b=1816b=18-16
b=2b=2

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=8x+2f\left(x\right)=8x+2.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=8>0a=8>0. Il en résulte donc que la fonction x8x+2x\mapsto 8x+2 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :