Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Comment déterminer le sens de variation d'une fonction affine - Exercice 2

10 min
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Question 1

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=2x+3f\left(x\right)=2x+3.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=2>0a=2>0. Il en résulte donc que la fonction x↦2x+1x\mapsto 2x+1 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 2

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=−5x+2f\left(x\right)=-5x+2.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=−5<0a=-5<0. Il en résulte donc que la fonction x↦−5x+2x\mapsto -5x+2 est une fonction décroissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 3

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=7x+4f\left(x\right)=7x+4.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=7>0a=7>0. Il en résulte donc que la fonction x↦7x+4x\mapsto 7x+4 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 4

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=−6x+1f\left(x\right)=-6x+1.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=−6<0a=-6<0. Il en résulte donc que la fonction x↦−6x+1x\mapsto -6x+1 est une fonction décroissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 5

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=57x−3f\left(x\right)=\frac{5}{7}x-3.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=57>0a=\frac{5}{7}>0. Il en résulte donc que la fonction x↦57x−3x\mapsto \frac{5}{7}x-3 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 6

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=−2x+45f\left(x\right)=\frac{-2x+4}{5}.

Correction
Nous savons que f(x)=−2x+45f\left(x\right)=\frac{-2x+4}{5}. Nous allons l'écrire de la forme ax+bax+b afin de déterminer plus facilement son coefficient directeur.
f(x)=−2x+45f\left(x\right)=\frac{-2x+4}{5} équivaut successivement à :
f(x)=−2x5+45f\left(x\right)=\frac{-2x}{5}+\frac{4}{5}
f(x)=−25x+45f\left(x\right)=-\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=−25<0a=-\frac{2}{5}<0. Il en résulte donc que la fonction x↦−2x+45x\mapsto \frac{-2x+4}{5} est une fonction décroissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 7

Dresser le tableau de variation de la fonction f(x)=−11+9xf\left(x\right)=-11+9x.

Correction
Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=9>0a=9>0. Il en résulte donc que la fonction x↦−11+9xx\mapsto -11+9x est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :