La forme canonique - Exercice 1

20 min
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Question 1

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−6x+3f\left(x\right)=x^{2} -6x+3.

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=−6b=-6
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=3
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−(−6)2×1\alpha =\frac{-\left(-6\right)}{2\times1} d'où :
α=3\alpha =3

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(3)\beta =f\left(3 \right)
β=32−6×3+3\beta =3^{2} -6\times 3+3
β=9−18+3\beta =9-18+3
β=−6\beta =-6

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : f(x)=1(x−3)2−6f\left(x\right)=1\left(x-3 \right)^{2}-6.
Autrement dit :
f(x)=(x−3)2−6f\left(x\right)=\left(x-3 \right)^{2}-6
.
Question 2

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−2x2+8x+10f\left(x\right)=-2x^{2}+8x+10.

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=8
  • c=c= nombre seul d'où c=10c=10
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−82×(−2)\alpha =\frac{-8}{2\times\left(-2\right)} d'où :
α=2\alpha =2

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(2)\beta =f\left(2 \right)
β=−2×22+8×2+10\beta =-2\times 2^{2} +8\times 2+10
β=−2×4+16+10\beta =-2\times 4+16+10
β=18\beta =18

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne ici :
f(x)=−2(x−2)2+18f\left(x\right)=-2\left(x-2 \right)^{2}+18
.
Question 3

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−3x2+12x+4f\left(x\right)=-3x^{2} +12x+4

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−3a=-3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=12b=12
  • c=c= nombre seul d'où c=4c=4
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−122×(−3)\alpha =\frac{-12}{2\times\left(-3\right)} d'où :
α=2\alpha =2

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(2)\beta =f\left(2 \right)
β=−3×22+12×2+4\beta =-3\times2^{2} +12\times2+4
β=−3×4+24+4\beta =-3\times 4+24+4
β=16\beta =16

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne ici :
f(x)=−3(x−2)2+16f\left(x\right)=-3\left(x-2 \right)^{2}+16
.
Question 4

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x2+24x+12f\left(x\right)=4x^{2} +24x+12

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=4a=4
  • b=b= nombre devant xx d'où b=24b=24
  • c=c= nombre seul d'où c=12c=12
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−242×4\alpha =\frac{-24}{2\times4} d'où :
α=−3\alpha =-3

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−3)\beta =f\left(-3 \right)
β=4×(−3)2+24×(−3)+12\beta =4\times\left(-3\right)^{2} +24\times\left(-3\right)+12
β=4×9−72+12\beta =4\times 9-72+12
β=−24\beta =-24

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne ici :
f(x)=4(x−(−3))2−24f\left(x\right)=4\left(x-\left(-3\right)\right)^{2}-24
f(x)=4(x+3)2−24f\left(x\right)=4\left(x+3 \right)^{2}-24
.
Question 5

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+x+1f\left(x\right)=x^{2} +x+1

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=1b=1
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=1
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−12×1\alpha =\frac{-1}{2\times1} d'où :
α=−12\alpha =-\frac{1}{2}

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−12)\beta =f\left(-\frac{1}{2} \right)
β=(−12)2−12+1\beta =\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} -\frac{1}{2}+1
β=14−12+1\beta =\frac{1}{4} -\frac{1}{2}+1
β=34\beta =\frac{3}{4}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne ici :
f(x)=(x−(−12))2+34f\left(x\right)=\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)^{2}+\frac{3}{4}
f(x)=(x+12)2+34f\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4}
.
Question 6

Déterminer la forme canonique de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2+5x+3f\left(x\right)=2x^{2} +5x+3

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=5b=5
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=3
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−52×2\alpha =\frac{-5}{2\times2} d'où :
α=−54\alpha =-\frac{5}{4}

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−54)\beta =f\left(-\frac{5}{4} \right)
β=2×(−54)2+5×(−54)+3\beta = 2\times\left(-\frac{5}{4}\right)^{2} +5\times\left(-\frac{5}{4}\right)+3
β=2×2516−254+3\beta =2\times\frac{25}{16} -\frac{25}{4}+3
β=5016−254+3\beta =\frac{50}{16} -\frac{25}{4}+3
β=5016−25×44×4+3×161×16\beta =\frac{50}{16} -\frac{25\times4}{4\times4}+\frac{3\times16}{1\times16}
β=5016−10016+4816\beta =\frac{50}{16} -\frac{100}{16}+\frac{48}{16}
β=−216\beta =-\frac{2}{16}
β=−18\beta =-\frac{1}{8}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne ici :
f(x)=2(x−(−54))2−18f\left(x\right)=2\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)^{2}-\frac{1}{8}
f(x)=2(x+54)2−18f\left(x\right)=2\left(x+\frac{5}{4} \right)^{2}-\frac{1}{8}
.

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