Fonction polynôme du second degré : $f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$

Exercices types : 2ème partie - Exercice 2

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Question 1
Une puce effectue des sauts suivant une parabole qui a pour équation f(x)=−2x2+4x+1f\left(x\right)=-2x^{2} +4x+1 sur l'intervalle [0;3]\left[0;3\right]. L'unité est le cm pour cet exercice .

Quelle hauteur maximale, en cm, la puce atteint-elle?

Correction
Pour répondre à cette question, il faut donner la forme canonique de ff puis ensuite dresser le tableau de variation de ff.
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=4
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=1
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−42×(−2)\alpha =\frac{-4}{2\times\left(-2\right)} d'où :
α=1\alpha =1

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(1)\beta =f\left(1 \right)
β=−2×12+4×1+1\beta =-2\times 1^{2} +4\times 1+1
β=−2×1+4+1\beta =-2\times 1+4+1
β=−2+4+1\beta =-2+4+1
β=3\beta =3

4ème étape : Le tableau de variation de ff.
  • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et le tableau de variation est comme suit :
Ici : a=−2<0a=-2<0. La parabole est tournée vers le bas. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :
La puce réalise un saut maximal de 33 cm de hauteur .