Exercices types : 2^ème partie - Exercice 1

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-12$$

2^ème étape : Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-\left(-2\right)}{2\times2}$$ d'où :
3^ème étape : Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(\frac{1}{2} \right)$$
$$\beta =2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} -2\times\left(\frac{1}{2}\right)-12$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la forme canonique est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : .

Nous allons développer l'expression : $$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$. Ainsi :
$$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=2\left(x\times x+2\times x+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2\right)$$
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} +2x-3x-6\right)$$
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x-6\right)$$

Pour calculer $$f\left(0\right)$$, nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12$$. Ainsi :
$$f\left(0\right)=2\times0^{2} -2\times0-12$$

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$, il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$2\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul. Comme $$2>0$$, on a :
$$x-3=0$$ ou $$x+2=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x-3=0$$ qui donne $$x=3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+2=0$$ qui donne $$x=-2$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ sont alors :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$, il faudra utiliser la forme canonique de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$
$$2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{2}$$
$$2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{0}{2}$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0$$
$$x-\frac{1}{2}=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$
La solution de l'équation $$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$ est alors :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-12$$, il faudra utiliser la forme développée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=-12$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2} -2x-12=-12$$
$$2x^{2} -2x=-12+12$$
$$2x^{2} -2x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$${\color{blue}x}\times 2\times x-2\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $$x$$ .
$${\color{blue}x}\left(2x-2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$2x-2=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$2x-2=0$$ qui donne $$2x=2$$ d'où : $$x=\frac{2}{2}=1$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=-12$$ sont alors :

Pour déterminer le sens de variation de $$f$$, il faudra utiliser la forme canonique de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}$$ .Ici : $$a=2>0$$. La parabole est tournée vers le haut. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :