Exercices types : 1^ère partie - Exercice 3

Il nous faut calculer $$B\left(20\right)$$.
$$B\left(20\right)=-3\times 20^{2}+240\times 20-2625$$

L'entreprise réalisera un bénéfice de $$975$$ euros pour une vente de $$20$$ licences.

Pour déterminer le bénéfice maximal, nous allons commencer par donner la forme canonique de : $$B\left(x\right)=-3 x^{2}+240x-2625$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=240$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-2625$$

2^ème étape : Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-240}{2\times\left(-3\right)}$$ d'où :
3^ème étape : Calcul de $$\beta =B\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =B\left(40 \right)$$
$$\beta =-3\times 40^{2}+240\times 40-2625$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la forme canonique est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : .
Maintenant, que nous avons la forme canonique de la fonction $$B$$, nous allons pouvoir dresser le tableau de variation de $$B$$.
Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas. Il en résulte donc que : Finalement, pour une production de $$40$$ licences, le bénéfice maximal est alors de $$2175$$ euros.