Signe d'un quotient et fonctions homographiques (inéquations) - Exercice 2

$$\frac{2x+5}{3x-7} \le 4$$
$$\frac{2x+5}{3x-7} -4\le 0$$
$$\frac{2x+5}{3x-7} -\frac{4}{1} \le 0$$
$$\frac{2x+5}{3x-7} -\frac{4\times \left(3x-7\right)}{1\times \left(3x-7\right)} \le 0$$
$$\frac{2x+5}{3x-7} -\frac{4\times \left(3x-7\right)}{3x-7} \le 0$$
$$\frac{2x+5-4\times \left(3x-7\right)}{3x-7} \le 0$$
$$\frac{2x+5-\left(12x-28\right)}{3x-7} \le 0$$
$$\frac{2x+5-12x+28}{3x-7} \le 0$$
$$\frac{-10x+33}{3x-7} \le 0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-10x+33=0\Leftrightarrow -10x=-33\Leftrightarrow x=\frac{-33}{-10}=\frac{33}{10}$$
Soit $$x\mapsto -10x+33$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-10<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-10x+33$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{33}{10}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x-7=0\Leftrightarrow 3x=7\Leftrightarrow x=\frac{7}{3}$$ . Attention, ici $$x=\frac{7}{3}$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 3x-7$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-7$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{7}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $$x=\frac{7}{3}$$ est une valeur interdite)
Nous voulons résoudre l'inéquation $$\frac{-10x+33}{3x-7} \le 0$$. Ainsi : . (Nous avons ouvert le crochet à $$\frac{7}{3}$$ car c'est la valeur interdite.)