Savoir résoudre une équation quotient de la forme ax+bcx+d=k\frac{ax+b}{cx+d}=k - Exercice 1

12 min
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Résoudre les équations suivantes :
Question 1

2x−6x+4=3\frac{2x-6}{x+4} =3

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, x+4≠0x+4\ne0 soit pour tout réel x≠−4x\ne-4.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x≠−4x\ne-4, on a :
2x−6x+4=3⇔2x−6x+4=31\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow \frac{2x-6}{x+4} =\frac{3}{1}
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
2x−6x+4=3⇔(2x−6)×1=3×(x+4)\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow \left(2x-6\right)\times 1=3\times \left(x+4\right)
2x−6x+4=3⇔2x−6=3x+12\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow 2x-6=3x+12
2x−6x+4=3⇔2x−3x=12+6\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow 2x-3x=12+6
2x−6x+4=3⇔−x=18\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow -x=18
2x−6x+4=3⇔x=−18\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow x=-18
La solution de cette équation est :
S={−18}S=\left\{-18\right\}

Question 2

3x+1−4x−1=−2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, −4x−1≠0-4x-1\ne0
−4x−1≠0-4x-1\ne0 équivaut successivement à :
−4x≠1-4x\ne1
x≠1−4x\ne \frac{1}{-4}.
Cette équation est définie, si et seulement si x≠−14x\ne -\frac{1}{4}.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x≠−14x\ne -\frac{1}{4}, on a :
3x+1−4x−1=−2⇔3x+1−4x−1=−21\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow \frac{3x+1}{-4x-1} =\frac{-2}{1}
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
3x+1−4x−1=−2⇔(3x+1)×1=(−4x−1)×(−2)\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow \left(3x+1\right)\times 1=\left(-4x-1\right)\times \left(-2\right)
3x+1−4x−1=−2⇔3x+1=8x+2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow 3x+1=8x+2
3x+1−4x−1=−2⇔3x−8x=−1+2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow 3x-8x=-1+2
3x+1−4x−1=−2⇔−5x=1\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow -5x=1
3x+1−4x−1=−2⇔x=−15\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}
La solution de cette équation est :
S={−15}S=\left\{-\frac{1}{5}\right\}
Question 3

2x−53x+7=1\frac{2x-5}{3x+7} =1

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, 3x+7≠03x+7\ne0
3x+7≠03x+7\ne0 équivaut successivement à :
3x≠−73x\ne-7
x≠−73x\ne \frac{-7}{3}.
Cette équation est définie, si et seulement si x≠−73x\ne -\frac{7}{3}.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x≠−73x\ne -\frac{7}{3}, on a :
2x−53x+7=1⇔2x−53x+7=11\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow \frac{2x-5}{3x+7} =\frac{1}{1}
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
2x−53x+7=1⇔(2x−5)×1=(3x+7)×1\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow \left(2x-5\right)\times 1=\left(3x+7\right)\times 1
2x−53x+7=1⇔2x−5=3x+7\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow 2x-5=3x+7
2x−53x+7=1⇔2x−3x=7+5\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow 2x-3x=7+5
2x−53x+7=1⇔−x=12\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow -x=12
2x−53x+7=1⇔x=−12\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow x=-12
La solution de cette équation est :
S={−12}S=\left\{-12\right\}

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