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Savoir résoudre une équation quotient de la forme ax+bcx+d=k\frac{ax+b}{cx+d}=k - Exercice 1

12 min
25
Résoudre les équations suivantes :
Question 1

2x6x+4=3\frac{2x-6}{x+4} =3

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, x+40x+4\ne0 soit pour tout réel x4x\ne-4.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x4x\ne-4, on a :
2x6x+4=32x6x+4=31\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow \frac{2x-6}{x+4} =\frac{3}{1}
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
2x6x+4=3(2x6)×1=3×(x+4)\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow \left(2x-6\right)\times 1=3\times \left(x+4\right)
2x6x+4=32x6=3x+12\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow 2x-6=3x+12
2x6x+4=32x3x=12+6\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow 2x-3x=12+6
2x6x+4=3x=18\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow -x=18
2x6x+4=3x=18\frac{2x-6}{x+4} =3\Leftrightarrow x=-18
La solution de cette équation est :
S={18}S=\left\{-18\right\}

Question 2

3x+14x1=2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, 4x10-4x-1\ne0
4x10-4x-1\ne0 équivaut successivement à :
4x1-4x\ne1
x14x\ne \frac{1}{-4}.
Cette équation est définie, si et seulement si x14x\ne -\frac{1}{4}.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x14x\ne -\frac{1}{4}, on a :
3x+14x1=23x+14x1=21\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow \frac{3x+1}{-4x-1} =\frac{-2}{1}
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
3x+14x1=2(3x+1)×1=(4x1)×(2)\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow \left(3x+1\right)\times 1=\left(-4x-1\right)\times \left(-2\right)
3x+14x1=23x+1=8x+2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow 3x+1=8x+2
3x+14x1=23x8x=1+2\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow 3x-8x=-1+2
3x+14x1=25x=1\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow -5x=1
3x+14x1=2x=15\frac{3x+1}{-4x-1} =-2\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}
La solution de cette équation est :
S={15}S=\left\{-\frac{1}{5}\right\}
Question 3

2x53x+7=1\frac{2x-5}{3x+7} =1

Correction
11ère étape : S'assurer que l'on enlève la valeur interdite.
Cette équation est définie, si et seulement si, 3x+703x+7\ne0
3x+703x+7\ne0 équivaut successivement à :
3x73x\ne-7
x73x\ne \frac{-7}{3}.
Cette équation est définie, si et seulement si x73x\ne -\frac{7}{3}.
22ème étape : Résolution de l'équation
Pour tout réel x73x\ne -\frac{7}{3}, on a :
2x53x+7=12x53x+7=11\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow \frac{2x-5}{3x+7} =\frac{1}{1}
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
2x53x+7=1(2x5)×1=(3x+7)×1\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow \left(2x-5\right)\times 1=\left(3x+7\right)\times 1
2x53x+7=12x5=3x+7\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow 2x-5=3x+7
2x53x+7=12x3x=7+5\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow 2x-3x=7+5
2x53x+7=1x=12\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow -x=12
2x53x+7=1x=12\frac{2x-5}{3x+7} =1\Leftrightarrow x=-12
La solution de cette équation est :
S={12}S=\left\{-12\right\}