Fonction homographique : $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} $

Exercices Types : Partie 1 - Exercice 2

25 min
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Question 1
La fonction ff définie par f(x)=4x−15x−2f\left(x\right)=\frac{4x-1}{5x-2}.

Montrer que ff est une fonction homographique.

Correction
  • On appelle fonction homographique toute fonction ff qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} où aa, bb , c≠0c\ne0 et dd sont des réels tels que ad−bc≠0ad-bc\ne0.
Ici nous avons
a=4a=4, b=−1b=-1, c=5≠0c=5\ne0 et d=−2d=-2
.
De plus : ad−bc=4×(−2)−(−1)×5ad-bc=4\times\left(-2\right)-\left(-1\right)\times5 ainsi :
ad−bc=−8+5≠0ad-bc=-8+5\ne0
.
La fonction ff est bien une fonction homographique.
Question 2

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction ff.

Correction
  • Une fonction homographique est définie pour tout réel xx tel que le dénominateur ne s'annule pas.
Le dénominateur ici est 5x−25x-2.
ff est définie pour tout réel xx tel 5x−2≠05x-2\ne0 c'est à dire 5x≠25x\ne2 d'où :
x≠25x\ne\frac{2}{5}

L'ensemble de définition de la fonction ff est D=]−∞;25[∪]25;+∞[D=\left]-\infty ;\frac{2}{5}\right[\cup \left]\frac{2}{5};+\infty \right[ que l’on note aussi R−{25}\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{5}\right\}.
Question 3
Soit la fonction dd définie par : d(x)=−6x+35x−2d\left(x\right)=\frac{-6x+3}{5x-2}

Dresser le tableau de signes de d(x)d\left(x\right).

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :
  • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
  • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −6x+3=0⇔−6x=−3⇔x=−3−6=12-6x+3=0\Leftrightarrow -6x=-3\Leftrightarrow x=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}
    Soit x↦−6x+3x\mapsto -6x+3 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−6<0a=-6<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −6x+3-6x+3 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=12x=\frac{1}{2} on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 5x−2=0⇔5x=2⇔x=255x-2=0\Leftrightarrow 5x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{5} . Attention, ici x=25x=\frac{2}{5} est la valeur interdite.
    Soit x↦5x−2x\mapsto 5x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 5x−25x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=25x=\frac{2}{5} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=25x=\frac{2}{5} est une valeur interdite)
    Question 4

    Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation d(x)≤0d\left(x\right)\le0

    Correction
    Nous reprenons le tableau de signe de la fonction d(x)d\left(x\right) vu à la question 33.
    L'inéquation d(x)≤0d\left(x\right)\le0 admet comme solution :
    S=]−∞;25[∪[12;+∞[S=\left]-\infty ;\frac{2}{5} \right[\cup \left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[

    Question 5

    Démontrer que, pour tout réel x≠25x\ne \frac{2}{5}, on a : f(x)−2=d(x)f\left(x\right)-2=d\left(x\right)

    Correction
    f(x)−2=4x−15x−2−2f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2}-2
    f(x)−2=4x−15x−2−21f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2} -\frac{2}{1}
    f(x)−2=4x−15x−2−2(5x−2)5x−2f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2} -\frac{2\left(5x-2\right)}{5x-2}
    f(x)−2=4x−1−2(5x−2)5x−2f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-2\left(5x-2\right)}{5x-2}
    f(x)−2=4x−1−(10x−4)5x−2f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-\left(10x-4\right)}{5x-2}
    f(x)−2=4x−1−10x+45x−2f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-10x+4}{5x-2}
    f(x)−2=−6x+35x−2f\left(x\right)-2=\frac{-6x+3}{5x-2}
    f(x)−2=d(x)f\left(x\right)-2=d\left(x\right)