Exercices Types : Partie 1 - Exercice 1

Ici nous avons .
De plus : $$ad-bc=4\times\left(-3\right)-1\times2$$ ainsi : .
La fonction $$f$$ est bien une fonction homographique.

Le dénominateur ici est $$x-3$$.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel $$x-3\ne0$$ d'où :
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est $$D=\left]-\infty ;3\right[\cup \left]3;+\infty \right[$$ que l’on note aussi $$\mathbb{R}-\left\{3\right\}$$.

$$\frac{4x+2}{x-3} =0$$ équivaut successivement à :
$$4x+2=0$$ et $$x-3\ne0$$
$$4x=-2$$ et $$x\ne3$$
$$x=\frac{-2}{4}$$ et $$x\ne3$$
$$x=\frac{-1}{2}$$ et $$x\ne3$$
La solution de l'équation $$\frac{4x+2}{x-3} =0$$ est :

$$f\left(x\right)<1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{4x+2}{x-3} <1$$
$$\frac{4x+2}{x-3} -1<0$$
$$\frac{4x+2}{x-3} -\frac{1\times \left(x-3\right)}{x-3} <0$$ . Nous avons tout mis au même dénominateur.
$$\frac{4x+2-1\times \left(x-3\right)}{x-3} <0$$
$$\frac{4x+2-\left(x-3\right)}{x-3} <0$$
$$\frac{4x+2-x+3}{x-3} <0$$ . Attention à avoir bien changé les signes devant la parenthèse car il y a le signe $$\left(-\right)$$
Finalement :

Pour déterminer les solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)<1$$, il nous faut donc résoudre l'inéquation $$\frac{3x+5}{x-3} <0$$ . Pour cela nous allons dresser un tableau de signe.
Tout d'abord, il est important de rappeler que $$3$$ est la valeur interdite donc que l'ensemble de définition est $$D=\left]-\infty ;3\right[\cup \left]3;+\infty \right[$$.
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$3x+5=0$$ équivaut successivement à :
$$3x=-5$$

Soit $$x\mapsto 3x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$.
Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe $$\left(-\right)$$ puis ensuite par le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe. Bien entendu n'écrivez pas ces deux phrases en gras sur votre copie, c'est pour vous expliquer comment on remplit le signe de la fonction $$x\mapsto 3x+5$$.
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$x-3=0$$ équivaut successivement à :

Soit $$x\mapsto x-3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$.
Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe $$\left(-\right)$$ puis ensuite par le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe. Bien entendu n'écrivez pas ces deux phrases en gras sur votre copie, c'est pour vous expliquer comment on remplit le signe de la fonction $$x\mapsto x-3$$.
Nous dressons ci-dessous le tableau de signe de la fonction $$x\mapsto \frac{3x+5}{x-3}$$.
Pour déterminer les solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)<1$$, il nous faut donc résoudre l'inéquation $$\frac{3x+5}{x-3} <0$$.
Il vient alors que :