Fonction homographique : $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} $
Comment justifier qu'une fonction est bien une fonction homographique - Exercice 1
10 min
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Question 1
La fonction f définie par f(x)=3x−52x+1 est-elle une fonction homographique?
Correction
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x)=cx+dax+b où a, b , c=0 et d sont des réels tels que ad−bc=0.
Ici nous avons
a=2, b=1, c=3=0 et d=−5
. De plus : ad−bc=2×(−5)−1×3 ainsi :
ad−bc=−13=0
. La fonction f est bien une fonction homographique.
Question 2
La fonction f définie par f(x)=2x+46 est-elle une fonction homographique?
Correction
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x)=cx+dax+b où a, b , c=0 et d sont des réels tels que ad−bc=0.
Ici nous avons
a=0, b=6, c=2=0 et d=4
. De plus : ad−bc=0×4−6×2 ainsi :
ad−bc=−12=0
. La fonction f est bien une fonction homographique.
Question 3
La fonction f définie par f(x)=96x+5 est-elle une fonction homographique?
Correction
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x)=cx+dax+b où a, b , c=0 et d sont des réels tels que ad−bc=0.
Ici nous avons
a=6, b=5, c=0 et d=9
. Comme c=0 alors la fonction fn'est pas une fonction homographique. Nous voyons bien ici que la fonction x↦96x+5 est une fonction affine.
Question 4
La fonction f définie par f(x)=xx+5 est-elle une fonction homographique?
Correction
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x)=cx+dax+b où a, b , c=0 et d sont des réels tels que ad−bc=0.
Ici nous avons
a=1, b=5, c=1=0 et d=0
. De plus : ad−bc=1×0−5×1 ainsi :
ad−bc=−5=0
. La fonction f est bien une fonction homographique.