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Comment justifier qu'une fonction est bien une fonction homographique - Exercice 1

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Question 1

La fonction ff définie par f(x)=2x+13x5f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x-5} est-elle une fonction homographique?

Correction
  • On appelle fonction homographique toute fonction ff qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}aa, bb , c0c\ne0 et dd sont des réels tels que adbc0ad-bc\ne0.
Ici nous avons
a=2a=2, b=1b=1, c=30c=3\ne0 et d=5d=-5
.
De plus : adbc=2×(5)1×3ad-bc=2\times\left(-5\right)-1\times3 ainsi :
adbc=130ad-bc=-13\ne0
.
La fonction ff est bien une fonction homographique.
Question 2

La fonction ff définie par f(x)=62x+4f\left(x\right)=\frac{6}{2x+4} est-elle une fonction homographique?

Correction
  • On appelle fonction homographique toute fonction ff qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}aa, bb , c0c\ne0 et dd sont des réels tels que adbc0ad-bc\ne0.
Ici nous avons
a=0a=0, b=6b=6, c=20c=2\ne0 et d=4d=4
.
De plus : adbc=0×46×2ad-bc=0\times4-6\times2 ainsi :
adbc=120ad-bc=-12\ne0
.
La fonction ff est bien une fonction homographique.
Question 3

La fonction ff définie par f(x)=6x+59f\left(x\right)=\frac{6x+5}{9} est-elle une fonction homographique?

Correction
  • On appelle fonction homographique toute fonction ff qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}aa, bb , c0c\ne0 et dd sont des réels tels que adbc0ad-bc\ne0.
Ici nous avons
a=6a=6, b=5b=5, c=0c=0 et d=9d=9
. Comme c=0c=0 alors la fonction ff n'est pas une fonction homographique.
Nous voyons bien ici que la fonction x6x+59x\mapsto \frac{6x+5}{9} est une fonction affine.
Question 4

La fonction ff définie par f(x)=x+5xf\left(x\right)=\frac{x+5}{x} est-elle une fonction homographique?

Correction
  • On appelle fonction homographique toute fonction ff qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}aa, bb , c0c\ne0 et dd sont des réels tels que adbc0ad-bc\ne0.
Ici nous avons
a=1a=1, b=5b=5, c=10c=1\ne0 et d=0d=0
.
De plus : adbc=1×05×1ad-bc=1\times0-5\times1 ainsi :
adbc=50ad-bc=-5\ne0
.
La fonction ff est bien une fonction homographique.