Fonction de référence : La fonction racine cube $f\left(x\right)=x^{3}$

Comment comparer a3a^{3} et b3b^{3} - Exercice 1

10 min
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Remplacer les pointillés par >> ; << ou ==
Question 1

23…432^{3}\ldots 4^{3}

Correction
    Dire que la fonction ff est croissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≤f(x2)f\left(x_{1}\right)\le f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} est strictement croissante et 2<42<4 alors
23<432^{3} \red{<} 4^{3}

On dit que la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} conserve l’ordre : les réels de l’intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Question 2

(−1)3…13\left(-1\right)^{3}\ldots 1^{3}

Correction
    Dire que la fonction ff est croissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≤f(x2)f\left(x_{1}\right)\le f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} est strictement croissante et −1<1-1<1 alors
(−1)3<13\left(-1\right)^{3} \red{<} 1^{3}

On dit que la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} conserve l’ordre : les réels de l’intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Question 3

83…338^{3}\ldots 3^{3}

Correction
    Dire que la fonction ff est croissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≤f(x2)f\left(x_{1}\right)\le f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} est strictement croissante et 8>38>3 alors
83>338^{3} \red{>} 3^{3}

On dit que la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} conserve l’ordre : les réels de l’intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Question 4

−23…(−2)3-2^{3}\ldots \left(-2\right)^{3}

Correction
D’une part : \text{\purple{D'une part : }}
−23=−2×2×2-2^{3}=-2\times 2 \times 2 donc −23=−8-2^{3}=-8
D’autre part : \text{\purple{D'autre part : }}
(−2)3=(−2)×(−2)×(−2)\left(-2\right)^{3}=\left(-2\right)\times \left(-2\right) \times \left(-2\right) donc (−2)3=−8\left(-2\right)^{3}=-8
Il en résulte donc que :
−23=(−2)3-2^{3}\red{=} \left(-2\right)^{3}

Question 5

(34)3…(45)3\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\ldots \left(\frac{4}{5}\right)^{3}

Correction
    Dire que la fonction ff est croissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
  • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≤f(x2)f\left(x_{1}\right)\le f\left(x_{2}\right).
  • On dit que la fonction ff conserve l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.
Nous allons commencer par comparer 34\frac{3}{4} et 45\frac{4}{5} . On remarque que :
34=3×54×5=1520\frac{3}{4}=\frac{3\times5}{4\times5}=\frac{15}{20}
45=4×45×4=1620\frac{4}{5}=\frac{4\times4}{5\times4}=\frac{16}{20}
Il en résulte donc que 34<45\frac{3}{4}<\frac{4}{5}
Sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} est strictement croissante et 34<45\frac{3}{4}<\frac{4}{5} alors
(34)3<(45)3\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\red{<} \left(\frac{4}{5}\right)^{3}

On dit que la fonction x↦x3x\mapsto x^{3} conserve l’ordre : les réels de l’intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ et leurs images par ff sont rangés dans le même ordre.