Fonction de référence : La fonction racine carrée $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

Variation de la fonction racine carrée - Exercice 1

6 min
0
Question 1
En utilisant les variations de la fonction racine carrée, donner un encadrement de x\sqrt{x} dans les cas suivants :

1x21\le x \le 2

Correction
Nous savons que :
1x21\le x \le 2 . Or la fonction xxx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
1x2\sqrt{1} \le \sqrt{x} \le \sqrt{2}
Ainsi :
1x21\le \sqrt{x} \le \sqrt{2}
Question 2

x[3;16]x\in \left[3;16\right]

Correction
x[3;16]x\in \left[3;16\right] se traduit en inégalité par 3x163\le x \le 16 .
Or la fonction xxx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
3x16\sqrt{3} \le \sqrt{x} \le \sqrt{16}
Ainsi :
3x4\sqrt{3}\le \sqrt{x} \le 4
Question 3

x[25;+[x\in \left[25;+\infty\right[

Correction
x[25;+[x\in \left[25;+\infty\right[ se traduit en inégalité par x25 x \ge 25 .
Or la fonction xxx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
x25 \sqrt{x} \ge \sqrt{25}
Ainsi :
x5 \sqrt{x} \ge 5