Fonction de référence : La fonction racine carrée $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

Utiliser la fonction racine carrée pour comparer deux nombres - Exercice 2

7 min
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Question 1
Sans utiliser la calculatrice, comparer les racines carrées des nombres suivants :

2,01\sqrt{2,01} et 2,001\sqrt{2,001}

Correction
Nous savons que 2,01>2,0012,01>2,001.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
2,01>2,001\sqrt{2,01}>\sqrt{2,001}
Question 2

3\sqrt{3} et 7\sqrt{7}

Correction
Nous savons que 3<73<7.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
3<7\sqrt{3}<\sqrt{7}
Question 3

15\sqrt{15} et 21\sqrt{21}

Correction
Nous savons que 15<2115<21.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
15<21\sqrt{15}<\sqrt{21}
Question 4

−9-\sqrt{9} et 13\sqrt{13}

Correction

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Ici −9-\sqrt{9} est un nombre négatif, et 13\sqrt{13} est un nombre positif.
Il en résulte donc que :
−9<13-\sqrt{9}<\sqrt{13}