Fonction de référence : La fonction racine carrée $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

Utiliser la fonction racine carrée pour comparer deux nombres - Exercice 1

7 min
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Question 1
Sans utiliser la calculatrice, comparer les racines carrées des nombres suivants :

1,1\sqrt{1,1} et 1,01\sqrt{1,01}

Correction
Nous savons que 1,01<1,11,01<1,1.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
1,01<1,1\sqrt{1,01}<\sqrt{1,1}
Question 2

2\sqrt{2} et 3\sqrt{3}

Correction
Nous savons que 2<32<3.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
2<3\sqrt{2}<\sqrt{3}
Question 3

25\sqrt{25} et 26\sqrt{26}

Correction
Nous savons que 25<2625<26.

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Il en résulte donc que :
25<26\sqrt{25}<\sqrt{26}
Question 4

−7-\sqrt{7} et 8\sqrt{8}

Correction


La fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a≤b\sqrt{a} {\color{blue}\le} \sqrt{b}
Ici −7-\sqrt{7} est un nombre négatif, et 8\sqrt{8} est un nombre positif.
Il en résulte donc que :
−7<8-\sqrt{7}<\sqrt{8}