Fonction de référence : La fonction racine carrée $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

Résolution des inéquations avec la fonction racine carrée : x≤a\sqrt{x} \le a et x≥a\sqrt{x} \ge a - Exercice 2

15 min
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Question 1
Soit xx un réel positif.
Résoudre les inéquations suivantes.

x≤5\sqrt{x} \le 5

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≤a\sqrt{x} \le a est 0≤x≤a20\le x\le a^{2} que l'on écrit S=[0;a2]S=\left[0;a^{2} \right]
D'après le rappel, il vient que :
x≤5⇔0≤x≤52⇔0≤x≤25\sqrt{x} \le 5\Leftrightarrow 0\le x\le 5^{2} \Leftrightarrow 0\le x\le 25
Ainsi :
S=[0;25]S=\left[0;25\right]

Question 2

x≥11\sqrt{x} \ge 11

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≥a\sqrt{x} \ge a est x≥a2 x\ge a^{2} que l'on écrit S=[a2;+∞[S=\left[a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x≥11⇔x≥112⇔x≥121\sqrt{x} \ge 11\Leftrightarrow x\ge 11^{2} \Leftrightarrow x\ge 121
Ainsi :
S=[121;+∞[S=\left[121;+\infty \right[
Question 3

x≤4\sqrt{x} \le 4

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≤a\sqrt{x} \le a est 0≤x≤a20\le x\le a^{2} que l'on écrit S=[0;a2]S=\left[0;a^{2} \right]
D'après le rappel, il vient que :
x≤4⇔0≤x≤42⇔0≤x≤16\sqrt{x} \le 4\Leftrightarrow 0\le x\le 4^{2} \Leftrightarrow 0\le x\le 16
Ainsi :
S=[0;16]S=\left[0;16\right]

Question 4

x≥6\sqrt{x} \ge 6

Correction

Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≥a\sqrt{x} \ge a est x≥a2 x\ge a^{2} que l'on écrit S=[a2;+∞[S=\left[a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x≥6⇔x≥62⇔x≥36\sqrt{x} \ge 6\Leftrightarrow x\ge 6^{2} \Leftrightarrow x\ge 36
Ainsi :
S=[36;+∞[S=\left[36;+\infty \right[
Question 5

x<13\sqrt{x} < 13

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x<a\sqrt{x} < a est 0≤x<a20\le x< a^{2} que l'on écrit S=[0;a2[S=\left[0;a^{2} \right[
D'après le rappel, il vient que :
x<13⇔0≤x<132⇔0≤x<169\sqrt{x} < 13\Leftrightarrow 0\le x< 13^{2} \Leftrightarrow 0\le x< 169
Ainsi :
S=[0;169[S=\left[0;169\right[
Question 6

x>16\sqrt{x} > 16

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x>a\sqrt{x} > a est x>a2 x> a^{2} que l'on écrit S=]a2;+∞[S=\left]a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x>16⇔x>162⇔x>256\sqrt{x} > 16\Leftrightarrow x> 16^{2} \Leftrightarrow x> 256
Ainsi :
S=]256;+∞[S=\left]256;+\infty \right[
Question 7

x≤−19\sqrt{x} \le -19

Correction
Cette inéquation est impossible. En effet, une racine carrée est une valeur positive ou nulle.
Une racine carrée ne peut donc pas être inférieure à une valeur négative.
On écrit alors :
S={∅}S=\left\{\emptyset\right\}