Fonction de référence : La fonction racine carrée $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

Résolution des inéquations avec la fonction racine carrée : x≤a\sqrt{x} \le a et x≥a\sqrt{x} \ge a - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit xx un réel positif.
Résoudre les inéquations suivantes.

x≤2\sqrt{x} \le 2

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≤a\sqrt{x} \le a est 0≤x≤a20\le x\le a^{2} que l'on écrit S=[0;a2]S=\left[0;a^{2} \right]
D'après le rappel, il vient que :
x≤2⇔0≤x≤22⇔0≤x≤4\sqrt{x} \le 2\Leftrightarrow 0\le x\le 2^{2} \Leftrightarrow 0\le x\le 4
Ainsi :
S=[0;4]S=\left[0;4\right]

Question 2

x≥3\sqrt{x} \ge 3

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≥a\sqrt{x} \ge a est x≥a2 x\ge a^{2} que l'on écrit S=[a2;+∞[S=\left[a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x≥3⇔x≥32⇔x≥9\sqrt{x} \ge 3\Leftrightarrow x\ge 3^{2} \Leftrightarrow x\ge 9
Ainsi :
S=[9;+∞[S=\left[9;+\infty \right[
Question 3

x≤6\sqrt{x} \le 6

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≤a\sqrt{x} \le a est 0≤x≤a20\le x\le a^{2} que l'on écrit S=[0;a2]S=\left[0;a^{2} \right]
D'après le rappel, il vient que :
x≤6⇔0≤x≤62⇔0≤x≤36\sqrt{x} \le 6\Leftrightarrow 0\le x\le 6^{2} \Leftrightarrow 0\le x\le 36
Ainsi :
S=[0;36]S=\left[0;36\right]

Question 4

x≥12\sqrt{x} \ge 12

Correction

Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x≥a\sqrt{x} \ge a est x≥a2 x\ge a^{2} que l'on écrit S=[a2;+∞[S=\left[a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x≥12⇔x≥122⇔x≥144\sqrt{x} \ge 12\Leftrightarrow x\ge 12^{2} \Leftrightarrow x\ge 144
Ainsi :
S=[144;+∞[S=\left[144;+\infty \right[
Question 5

x<9\sqrt{x} < 9

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x<a\sqrt{x} < a est 0≤x<a20\le x< a^{2} que l'on écrit S=[0;a2[S=\left[0;a^{2} \right[
D'après le rappel, il vient que :
x<9⇔0≤x<92⇔0≤x<81\sqrt{x} < 9\Leftrightarrow 0\le x< 9^{2} \Leftrightarrow 0\le x< 81
Ainsi :
S=[0;81[S=\left[0;81\right[
Question 6

x>10\sqrt{x} > 10

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • La solution de l'inéquation x>a\sqrt{x} > a est x>a2 x> a^{2} que l'on écrit S=]a2;+∞[S=\left]a^{2} ;+\infty\right[
D'après le rappel, il vient que :
x>10⇔x>102⇔x>100\sqrt{x} > 10\Leftrightarrow x> 10^{2} \Leftrightarrow x> 100
Ainsi :
S=]100;+∞[S=\left]100;+\infty \right[
Question 7

x≤−2\sqrt{x} \le -2

Correction
Cette inéquation est impossible. En effet, une racine carrée est une valeur positive ou nulle.
Une racine carrée ne peut donc pas être inférieure à une valeur négative.
On écrit alors :
S={∅}S=\left\{\emptyset\right\}