Encadrement - Exercice 1

$$x\in\left[2;5\right]$$ se traduit en inégalité par $$2\le x\le5$$ .
Or la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\sqrt{2}\le \sqrt{x}\le \sqrt{5}$$
Ainsi :

$$x\in\left[1;6\right]$$ se traduit en inégalité par $$1\le x\le6$$ .
Or la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\sqrt{1}\le \sqrt{x}\le \sqrt{6}$$
Ainsi :

$$x\in\left]5;9\right]$$ se traduit en inégalité par $$5< x\le9$$ .
Or la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\sqrt{5}< \sqrt{x}\le \sqrt{9}$$
Ainsi :

$$x\in\left]25;36\right[$$ se traduit en inégalité par $$25< x< 36$$ .
Or la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\sqrt{25}< \sqrt{x}< \sqrt{36}$$
Ainsi :

$$x\in\left[7;11\right[$$ se traduit en inégalité par $$7\le x<11$$ .
Or la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\sqrt{7}\le \sqrt{x}< \sqrt{11}$$
Ainsi :