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Résolutions d'inéquations - Exercice 1

10 min
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Question 1

Résoudre l'inéquation 1x45\frac{1}{x}\ge-\frac{4}{5}

Correction
Pour tout réel x0x\ne0, on a :
1x45\frac{1}{x}\ge-\frac{4}{5} équivaut successivement à :
1x+450\frac{1}{x}+\frac{4}{5}\ge0
1×5x×5+4×x5×x0\frac{1\times5}{x\times5}+\frac{4\times x}{5\times x}\ge0 . Nous avons tout mis au même dénominateur :
55x+4x5x0\frac{5}{5x}+\frac{4x}{5x}\ge0
5+4x5x0\frac{5+4x}{5x}\ge0
Il nous faut maintenant étudier le signe du quotient 5+4x5x\frac{5+4x}{5x} à l'aide d'un tableau de signe.
Tout d'abord :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 5+4x=04x=5x=545+4x=0\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}
    Soit x5+4xx\mapsto 5+4x est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe ()\left(-\right) puis ensuite par le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 5x=0x=05x=05x=0\Leftrightarrow x=\frac{0}{5}\Leftrightarrow x=0 . Attention ici, nous savons que x=0x=0 est une valeur interdite.
    Soit x5xx\mapsto 5x est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe ()\left(-\right) puis ensuite par le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.
    L'ensemble des solutions de l'inéquation 1x45\frac{1}{x}\ge-\frac{4}{5} est
    S=];54]]0;+[S=\left]-\infty ;-\frac{5}{4} \right]\cup \left]0;+\infty \right[