Résolutions d'inéquations

Pour tout réel $x\ne0$, on a :
$\frac{1}{x}\ge-\frac{4}{5}$ équivaut successivement à :
$\frac{1}{x}+\frac{4}{5}\ge0$
$\frac{1\times5}{x\times5}+\frac{4\times x}{5\times x}\ge0$ . Nous avons tout mis au même dénominateur :
$\frac{5}{5x}+\frac{4x}{5x}\ge0$
$\frac{5+4x}{5x}\ge0$
Il nous faut maintenant étudier le signe du quotient $\frac{5+4x}{5x}$ à l'aide d'un tableau de signe.
Tout d'abord :

$\red{\text{D'une part :}}$

$5+4x=0\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}$
Soit $x\mapsto 5+4x$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=4>0$. Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe $\left(-\right)$ puis ensuite par le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.

$\red{\text{D'autre part :}}$

$5x=0\Leftrightarrow x=\frac{0}{5}\Leftrightarrow x=0$ . Attention ici, nous savons que $x=0$ est une valeur interdite.
Soit $x\mapsto 5x$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=5>0$. Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera par le signe $\left(-\right)$ puis ensuite par le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{1}{x}\ge-\frac{4}{5}$ est