Fonction de référence : la fonction inverse $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Encadrement - Exercice 3

7 min
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Question 1
Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x} dans chacun des cas suivants :

2≤x≤32\le x\le 3

Correction
Nous savons que :
2≤x≤32\le x\le3 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
12≥1x≥13\frac{1}{2} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{3}
Il ne nous reste plus qu'à écrire l'intervalle du plus petit au plus grand. Ainsi :
13≤1x≤12\frac{1}{3} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{2}
Question 2

−4≤x≤−23-4\le x\le -\frac{2}{3}

Correction
Nous savons que :
−4≤x≤−23-4\le x\le -\frac{2}{3}
−41≤x1≤−23-\frac{4}{1} \le \frac{x}{1} \le -\frac{2}{3} . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ donc deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
−14≥1x≥−32-\frac{1}{4} \ge \frac{1}{x} \ge -\frac{3}{2}
Il ne nous reste plus qu'à écrire l'intervalle du plus petit au plus grand. Ainsi :
−32≤1x≤−14-\frac{3}{2} \le \frac{1}{x} \le -\frac{1}{4}
Question 3

76≤x≤215\frac{7}{6} \le x\le \frac{21}{5}

Correction
Nous savons que :
76≤x≤215\frac{7}{6} \le x\le \frac{21}{5} . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
67≥1x≥521\frac{6}{7} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{5}{21}
Il ne nous reste plus qu'à écrire l'intervalle du plus petit au plus grand. Ainsi :
521≤1x≤67\frac{5}{21} \le \frac{1}{x} \le \frac{6}{7}