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Encadrement - Exercice 2

7 min
15
Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x} dans chacun des cas suivants :
Question 1

−0,9<x<−0,1-0,9< x< -0,1

Correction
Nous savons que :
−0,9<x<−0,1-0,9< x< -0,1 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ donc deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
1−0,9>1x>1−0,1\frac{1}{-0,9} > \frac{1}{x} >\frac{1}{-0,1}
−10,9>1x>−10,1-\frac{1}{0,9} > \frac{1}{x} > -\frac{1}{0,1}
Ainsi :
−10,1<1x<−10,9-\frac{1}{0,1} < \frac{1}{x} < -\frac{1}{0,9}
Question 2

x<−34x<-\frac{3}{4}

Correction
Nous savons que : x<−34x<-\frac{3}{4} . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ donc deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire.
D'où : 1x>−43\frac{1}{x} >-\frac{4}{3} et comme l'inverse d'un nombre négatif est un nombre négatif.
Ainsi :
−43<1x<0-\frac{4}{3}<\frac{1}{x} <0
Question 3

6≤x≤86\le x\le8

Correction
Nous savons que :
6≤x≤86\le x\le8 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
16≥1x≥18\frac{1}{6} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{8}
Ainsi :
18≤1x≤16\frac{1}{8} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{6}

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