Fonction de référence : la fonction inverse $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Encadrement - Exercice 1

15 min
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Question 1

Soit x∈[2;5]x\in\left[2;5\right]. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que :
2≤x≤52\le x\le5 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
12≥1x≥15\frac{1}{2} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{5}
Ainsi :
15≤1x≤12\frac{1}{5} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{2}
Question 2

Soit x∈[−0,6;−0,2]x\in\left[-0,6;-0,2\right]. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que :
−0,6≤x≤−0,2-0,6\le x\le-0,2 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ donc deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
1−0,6≥1x≥1−0,2\frac{1}{-0,6} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{-0,2}
−10,6≥1x≥−10,2-\frac{1}{0,6} \ge \frac{1}{x} \ge -\frac{1}{0,2}
Ainsi :
−10,2≤1x≤−10,6-\frac{1}{0,2} \le \frac{1}{x} \le -\frac{1}{0,6}
Question 3

Soit x≥5x\ge5. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que : x≥5x\ge5 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire.
D'où : 1x≤15\frac{1}{x} \le\frac{1}{5} et comme l'inverse d'un nombre positif est un nombre positif.
Ainsi :
0<1x≤150<\frac{1}{x} \le\frac{1}{5}
Question 4

Soit 7≤x≤117\le x\le 11. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que :
7≤x≤117\le x\le11 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
17≥1x≥111\frac{1}{7} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{11}
Ainsi :
111≤1x≤17\frac{1}{11} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{7}
Question 5

Soit x>29x>\frac{2}{9}. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que : x>29x>\frac{2}{9} . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire.
D'où : 1x<92\frac{1}{x} <\frac{9}{2} et comme l'inverse d'un nombre positif est un nombre positif.
Ainsi :
0<1x≤920<\frac{1}{x} \le\frac{9}{2}
Question 6

Soit x∈[1;6]x\in\left[1;6\right]. Donner un encadrement de 1x\frac{1}{x}.

Correction
Nous savons que :
1≤x≤61\le x\le6 . Or la fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
11≥1x≥16\frac{1}{1} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{6} ou encore 1≥1x≥161 \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{6}
Ainsi :
16≤1x≤1\frac{1}{6} \le \frac{1}{x} \le 1