Fonction de référence : La fonction carrée $f\left(x\right)=x^{2}$

Utiliser la fonction carrée pour comparer deux nombres - Exercice 1

7 min
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Sans utiliser la calculatrice, comparer les carrés des nombres suivants :
Question 1

1,121,1^{2} et 1,0121,01^{2}

Correction
1,11,1 et 1,011,01 sont positifs et nous savons que 1,01<1,11,01<1,1.
La fonction x↦x2x\mapsto x^{2} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a2≤b2 a^{2} {\color{blue}\le} b^{2}
Il en résulte donc que :
1,012<1,121,01^{2}<1,1^{2}
Question 2

(−3)2\left(-3\right)^{2} et (−3,1)2\left(-3,1\right)^{2}

Correction
−3-3 et −3,1-3,1 sont négatifs et nous savons que −3,1<−3-3,1<-3.
La fonction x↦x2x\mapsto x^{2} est strictement décroissante sur l'intervalle ]−∞;0]\left]-\infty;0\right]
  • Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l’ordre contraire c'est à dire si a≤b≤0 a {\color{blue}\le } b{\color{blue} \le }0 alors a2≥b2 a^{2} {\color{red}\ge} b^{2}
Il en résulte donc que :
(−3,1)2>(−3)2\left(-3,1\right)^{2}>\left(-3\right)^{2}
Question 3

(12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2} et 0,2420,24^{2}

Correction
12\frac{1}{2} et 0,240,24 sont positifs et nous savons que 0,24<120,24<\frac{1}{2} car 12=0,25\frac{1}{2}=0,25.
La fonction x↦x2x\mapsto x^{2} est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[\left[0,+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors a2≤b2 a^{2} {\color{blue}\le} b^{2}
Il en résulte donc que :
0,242<(12)20,24^{2}<\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
Question 4

(−3)2\left(-3\right)^{2} et −32-3^{2}

Correction
Attention, ici il ne fait pas se précipiter et dire que les nombres sont égaux.
Il est clair que −32-3^{2} est une valeur négative. En effet, seul le nombre 33 est au carré, il gardera ensuite son signe moins.
Pour le nombre (−3)2\left(-3\right)^{2}, sans le calculer nous savons que sa valeur sera positive car la fonction carrée est positive ou nul.
Il en résulte donc que
−32<(−3)2-3^{2}<\left(-3\right)^{2}