Résolution des équations utilisant l'identité remarquable $a^{2}-b^{2}$

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(x+7\right)^{2} -4=0$ équivaut successivement à :
$\left(x+7\right)^{2} -2^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=x+7}$ et ${\color{blue}b=2}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}x+7}-{\color{blue}2}\right)\left({\color{red}x+7}+{\color{blue}2}\right)=0$
$\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$ revient à résoudre :
$x+5=0$ ou $x+9=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $x+5=0$ qui donne $x=-5$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $x+9=0$ qui donne $x=-9$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(2x-1\right)^{2} -9=0$ équivaut successivement à :
$\left(2x-1\right)^{2} -3^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=2x-1}$ et ${\color{blue}b=3}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}2x-1}-{\color{blue}3}\right)\left({\color{red}2x-1}+{\color{blue}3}\right)=0$
$\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0$ revient à résoudre :
$2x-4=0$ ou $2x+2=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $2x-4=0$ qui donne $2x=4$ d'où $x=\frac{4}{2}=2$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $2x+2=0$ qui donne $2x=-2$ d'où $x=\frac{-2}{2}=-1$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$25-\left(3x-1\right)^{2}=0$ équivaut successivement à :
$5^{2}-\left(3x-1\right)^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=5}$ et ${\color{blue}b=3x-1}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}5}-{\color{blue}(3x-1)}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}(3x-1)}\right)=0$
$\left({\color{red}5}-{\color{blue}3x+1}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}3x-1}\right)=0$
$\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0$ revient à résoudre :
$6-3x=0$ ou $3x+4=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $6-3x=0$ qui donne $-3x=-6$ d'où $x=\frac{-6}{-3}=2$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $3x+4=0$ qui donne $3x=-4$ d'où $x=-\frac{4}{3}$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(4x-5\right)^{2}-\left(x+4\right)^{2}=0$ équivaut successivement à :
$\left({\color{red}4x-5}\right)^{2}-\left({\color{blue}x+4}\right)^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=4x-5}$ et ${\color{blue}b=x+4}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}(x+4)}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}(x+4)}\right)=0$
$\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}x-4}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}x+4}\right)=0$
$\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0$ revient à résoudre :
$3x-9=0$ ou $5x-1=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $3x-9=0$ qui donne $3x=9$ d'où $x=\frac{9}{3}=3$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $5x-1=0$ qui donne $5x=1$ d'où $x=\frac{1}{5}$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(5x+7\right)^{2} -36=0$ équivaut successivement à :
$\left(5x+7\right)^{2} -6^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=5x+7}$ et ${\color{blue}b=6}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}5x+7}-{\color{blue}6}\right)\left({\color{red}5x+7}+{\color{blue}6}\right)=0$
$\left(5x+1\right)\left(5x+13\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(5x+1\right)\left(5x+13\right)=0$ revient à résoudre :
$5x+1=0$ ou $5x+13=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $5x+1=0$ qui donne $5x=-1$ d'où $x=\frac{-1}{5}$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $5x+13=0$ qui donne $5x=-13$ d'où $x=\frac{-13}{5}$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(6x-1\right)^{2}-\left(4x-9\right)^{2}=0$ équivaut successivement à :
$\left({\color{red}6x-1}\right)^{2}-\left({\color{blue}4x-9}\right)^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=6x-1}$ et ${\color{blue}b=4x-9}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}6x-1}-{\color{blue}(4x-9)}\right)\left({\color{red}6x-1}+{\color{blue}(4x-9)}\right)=0$
$\left({\color{red}6x-1}-{\color{blue}4x+9}\right)\left({\color{red}6x-1}+{\color{blue}4x-9}\right)=0$
$\left(2x+8\right)\left(10x-10\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(2x+8\right)\left(10x-10\right)=0$ revient à résoudre :
$2x+8=0$ ou $10x-10=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $2x+8=0$ qui donne $2x=-8$ d'où $x=-\frac{8}{2}=-4$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $10x-10=0$ qui donne $10x=10$ d'où $x=\frac{10}{10}=1$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$\left(2x+5\right)^{2}-\left(7x-4\right)^{2}=0$ équivaut successivement à :
$\left({\color{red}2x+5}\right)^{2}-\left({\color{blue}7x-4}\right)^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=2x+5}$ et ${\color{blue}b=7x-4}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}2x+5}-{\color{blue}(7x-4)}\right)\left({\color{red}2x+5}+{\color{blue}(7x-4)}\right)=0$
$\left({\color{red}2x+5}-{\color{blue}7x+4}\right)\left({\color{red}2x+5}+{\color{blue}7x-4}\right)=0$
$\left(-5x+9\right)\left(9x+1\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(-5x+9\right)\left(9x+1\right)=0$ revient à résoudre :
$-5x+9=0$ ou $9x+1=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $-5x+9=0$ qui donne $-5x=-9$ d'où $x=\frac{-9}{-5}=\frac{9}{5}$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $9x+1=0$ qui donne $9x=-1$ d'où $x=\frac{-1}{9}$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$64-\left(4x-12\right)^{2}=0$ équivaut successivement à :
$8^{2}-\left(4x-12\right)^{2}=0$
Ici nous avons ${\color{red}a=8}$ et ${\color{blue}b=4x-12}$. Il vient alors que :
$\left({\color{red}8}-{\color{blue}(4x-12)}\right)\left({\color{red}8}+{\color{blue}(4x-12)}\right)=0$
$\left({\color{red}8}-{\color{blue}4x+12}\right)\left({\color{red}8}+{\color{blue}4x-12}\right)=0$
$\left(20-4x\right)\left(4x-4\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $\left(20-4x\right)\left(4x-4\right)=0$ revient à résoudre :
$20-4x$ ou $4x-4=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $20-4x=0$ qui donne $-4x=-20$ d'où $x=\frac{-20}{-4}=5$

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $4x-4=0$ qui donne $4x=4$ d'où $x=\frac{4}{4}=1$

Les solutions de l'équation sont alors :