Fonction de référence : La fonction carrée $f\left(x\right)=x^{2}$

Résolution des équations utilisant l'identité remarquable a2b2a^{2}-b^{2} - Exercice 1

12 min
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Résoudre les équations suivantes :
Question 1

(x+7)24=0\left(x+7\right)^{2} -4=0

Correction
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
  • a2b2=(ab)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
(x+7)24=0\left(x+7\right)^{2} -4=0 équivaut successivement à :
(x+7)222=0\left(x+7\right)^{2} -2^{2}=0
Ici nous avons a=x+7{\color{red}a=x+7} et b=2{\color{blue}b=2}. Il vient alors que :
(x+72)(x+7+2)=0\left({\color{red}x+7}-{\color{blue}2}\right)\left({\color{red}x+7}+{\color{blue}2}\right)=0
(x+5)(x+9)=0\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi (x+5)(x+9)=0\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0 revient à résoudre :
x+5=0x+5=0 ou x+9=0x+9=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x+5=0x+5=0 qui donne x=5x=-5
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x+9=0x+9=0 qui donne x=9x=-9
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={9;5}S=\left\{-9;-5\right\}

    Question 2

    (2x1)29=0\left(2x-1\right)^{2} -9=0

    Correction
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2b2=(ab)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    (2x1)29=0\left(2x-1\right)^{2} -9=0 équivaut successivement à :
    (2x1)232=0\left(2x-1\right)^{2} -3^{2}=0
    Ici nous avons a=2x1{\color{red}a=2x-1} et b=3{\color{blue}b=3}. Il vient alors que :
    (2x13)(2x1+3)=0\left({\color{red}2x-1}-{\color{blue}3}\right)\left({\color{red}2x-1}+{\color{blue}3}\right)=0
    (2x4)(2x+2)=0\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (2x4)(2x+2)=0\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0 revient à résoudre :
    2x4=02x-4=0 ou 2x+2=02x+2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 2x4=02x-4=0 qui donne 2x=42x=4 d'où x=42=2x=\frac{4}{2}=2
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x+2=02x+2=0 qui donne 2x=22x=-2 d'où x=22=1x=\frac{-2}{2}=-1
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={1;2}S=\left\{-1;2\right\}

    Question 3

    25(3x1)2=025-\left(3x-1\right)^{2}=0

    Correction
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2b2=(ab)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    25(3x1)2=025-\left(3x-1\right)^{2}=0 équivaut successivement à :
    52(3x1)2=05^{2}-\left(3x-1\right)^{2}=0
    Ici nous avons a=5{\color{red}a=5} et b=3x1{\color{blue}b=3x-1}. Il vient alors que :
    (5(3x1))(5+(3x1))=0\left({\color{red}5}-{\color{blue}(3x-1)}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}(3x-1)}\right)=0
    (53x+1)(5+3x1)=0\left({\color{red}5}-{\color{blue}3x+1}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}3x-1}\right)=0
    (63x)(3x+4)=0\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (63x)(3x+4)=0\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0 revient à résoudre :
    63x=06-3x=0 ou 3x+4=03x+4=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 63x=06-3x=0 qui donne 3x=6-3x=-6 d'où x=63=2x=\frac{-6}{-3}=2
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x+4=03x+4=0 qui donne 3x=43x=-4 d'où x=43x=-\frac{4}{3}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={43;2}S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\}

    Question 4

    (4x5)2(x+4)2=0\left(4x-5\right)^{2}-\left(x+4\right)^{2}=0

    Correction
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2b2=(ab)(a+b)a^{2} -b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    (4x5)2(x+4)2=0\left(4x-5\right)^{2}-\left(x+4\right)^{2}=0 équivaut successivement à :
    (4x5)2(x+4)2=0\left({\color{red}4x-5}\right)^{2}-\left({\color{blue}x+4}\right)^{2}=0
    Ici nous avons a=4x5{\color{red}a=4x-5} et b=x+4{\color{blue}b=x+4}. Il vient alors que :
    (4x5(x+4))(4x5+(x+4))=0\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}(x+4)}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}(x+4)}\right)=0
    (4x5x4)(4x5+x+4)=0\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}x-4}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}x+4}\right)=0
    (3x9)(5x1)=0\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (3x9)(5x1)=0\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0 revient à résoudre :
    3x9=03x-9=0 ou 5x1=05x-1=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 3x9=03x-9=0 qui donne 3x=93x=9 d'où x=93=3x=\frac{9}{3}=3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 5x1=05x-1=0 qui donne 5x=15x=1 d'où x=15x=\frac{1}{5}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={15;3}S=\left\{\frac{1}{5};3\right\}