Résolution des équations utilisant l'identité remarquable $$a^{2}-b^{2}$$ - Exercice 1

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(x+7\right)^{2} -4=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(x+7\right)^{2} -2^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=x+7}$$ et $${\color{blue}b=2}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}x+7}-{\color{blue}2}\right)\left({\color{red}x+7}+{\color{blue}2}\right)=0$$
$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x+5=0$$ ou $$x+9=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x+5=0$$ qui donne $$x=-5$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+9=0$$ qui donne $$x=-9$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(2x-1\right)^{2} -9=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(2x-1\right)^{2} -3^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=2x-1}$$ et $${\color{blue}b=3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}2x-1}-{\color{blue}3}\right)\left({\color{red}2x-1}+{\color{blue}3}\right)=0$$
$$\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(2x-4\right)\left(2x+2\right)=0$$ revient à résoudre :
$$2x-4=0$$ ou $$2x+2=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$2x-4=0$$ qui donne $$2x=4$$ d'où $$x=\frac{4}{2}=2$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$2x+2=0$$ qui donne $$2x=-2$$ d'où $$x=\frac{-2}{2}=-1$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$25-\left(3x-1\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$$5^{2}-\left(3x-1\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=5}$$ et $${\color{blue}b=3x-1}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}5}-{\color{blue}(3x-1)}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}(3x-1)}\right)=0$$
$$\left({\color{red}5}-{\color{blue}3x+1}\right)\left({\color{red}5}+{\color{blue}3x-1}\right)=0$$
$$\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(6-3x\right)\left(3x+4\right)=0$$ revient à résoudre :
$$6-3x=0$$ ou $$3x+4=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$6-3x=0$$ qui donne $$-3x=-6$$ d'où $$x=\frac{-6}{-3}=2$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x+4=0$$ qui donne $$3x=-4$$ d'où $$x=-\frac{4}{3}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(4x-5\right)^{2}-\left(x+4\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{red}4x-5}\right)^{2}-\left({\color{blue}x+4}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=4x-5}$$ et $${\color{blue}b=x+4}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}(x+4)}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}(x+4)}\right)=0$$
$$\left({\color{red}4x-5}-{\color{blue}x-4}\right)\left({\color{red}4x-5}+{\color{blue}x+4}\right)=0$$
$$\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(3x-9\right)\left(5x-1\right)=0$$ revient à résoudre :
$$3x-9=0$$ ou $$5x-1=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$3x-9=0$$ qui donne $$3x=9$$ d'où $$x=\frac{9}{3}=3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$5x-1=0$$ qui donne $$5x=1$$ d'où $$x=\frac{1}{5}$$

Les solutions de l'équation sont alors :