Fonction de référence : La fonction carrée $f\left(x\right)=x^{2}$

Résolution des équations produit nul - Exercice 1

9 min
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Question 1
Résoudre les équations suivantes :

(3x+4)(5x−10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0

Correction
(3x+4)(5x−10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 .     \;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi (3x+4)(5x−10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 revient à résoudre :
3x+4=03x+4=0 ou 5x−10=05x-10=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 3x+4=03x+4=0 qui donne 3x=−43x=-4 . D'où : x=−43x=-\frac{4}{3}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 5x−10=05x-10=0 qui donne 5x=105x=10 . D'où : x=105=2x=\frac{10}{5}=2
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−43;2}S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\}
    Question 2

    (4x−1)(2x−30)=0\left(4x-1\right)\left(2x-30\right)=0

    Correction
    (4x−1)(2x−30)=0\left(4x-1\right)\left(2x-30\right)=0 .     \;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (4x−1)(2x−30)=0\left(4x-1\right)\left(2x-30\right)=0 revient à résoudre :
    4x−1=04x-1=0 ou 2x−30=02x-30=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 4x−1=04x-1=0 qui donne 4x=14x=1 . D'où : x=14x=\frac{1}{4}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 2x−30=02x-30=0 qui donne 2x=302x=30 . D'où : x=302=15x=\frac{30}{2}=15
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={14;15}S=\left\{\frac{1}{4};15\right\}
    Question 3

    (5x−9)(6x+5)=0\left(5x-9\right)\left(6x+5\right)=0

    Correction
    (5x−9)(6x+5)=0\left(5x-9\right)\left(6x+5\right)=0 .     \;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (5x−9)(6x+5)=0\left(5x-9\right)\left(6x+5\right)=0 revient à résoudre :
    5x−9=05x-9=0 ou 6x+5=06x+5=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 5x−9=05x-9=0 qui donne 5x=95x=9 . D'où : x=95x=\frac{9}{5}
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 6x+5=06x+5=0 qui donne 6x=−56x=-5 . D'où : x=−56x=-\frac{5}{6}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−56;95}S=\left\{-\frac{5}{6};\frac{9}{5}\right\}
    Question 4

    (2x−4)(x+3)=0\left(2x-4\right)\left(x+3\right)=0

    Correction
    (2x−4)(x+3)=0\left(2x-4\right)\left(x+3\right)=0 .     \;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
    Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
    Ainsi (2x−4)(x+3)=0\left(2x-4\right)\left(x+3\right)=0 revient à résoudre :
    2x−4=02x-4=0 ou x+3=0x+3=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 2x−4=02x-4=0 qui donne 2x=42x=4 . D'où : x=42=2x=\frac{4}{2} = 2
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x+3=0x+3=0 qui donne x=−3x=-3 . D'où : x=−3x=-3
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−3;2}S=\left\{-3;2\right\}