Fonction de référence : La fonction carrée $f\left(x\right)=x^{2}$

Résolution des équations de la forme x2=ax^{2}=a - Exercice 1

20 min
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Résoudre les équations suivantes :
Question 1

x2=5x^{2}=5

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=5x^{2}=5 équivaut successivement à :
x=5x=\sqrt{5} ou x=5x=-\sqrt{5}
Ainsi les solutions de l'équation x2=5x^{2}=5 sont :
S={5;5}S=\left\{-\sqrt{5} ;\sqrt{5} \right\}
Question 2

x2=3x^{2}=3

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=3x^{2}=3 équivaut successivement à :
x=3x=\sqrt{3} ou x=3x=-\sqrt{3}
Ainsi les solutions de l'équation x2=3x^{2}=3 sont :
S={3;3}S=\left\{-\sqrt{3} ;\sqrt{3} \right\}
Question 3

2x2=122x^{2}=12

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
Dans un premier temps, nous allons simplifier l'équation. C'est à dire que nous allons faire de tel sorte que x2x^{2} soit seul à gauche de l'égalité.
2x2=122x^{2}=12 s'écrit alors x2=122x^{2}=\frac{12}{2} c'est à dire x2=6x^{2}=6 .
x2=6x^{2}=6 équivaut successivement à :
x=6x=\sqrt{6} ou x=6x=-\sqrt{6}
Ainsi les solutions de l'équation 2x2=122x^{2}=12 sont :
S={6;6}S=\left\{-\sqrt{6} ;\sqrt{6} \right\}
Question 4

x2=1x^{2}=-1

Correction
Attention, ici pour cette équation x2=1x^{2}=-1, il est impératif de se souvenir qu'un carrée est positif ou nul.
Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation x2=1x^{2}=-1 .
On écrit alors :
S={}S=\left\{\emptyset\right\}
Question 5

x2=0x^{2}=0

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=0x^{2}=0 équivaut successivement à :
x=0=0x=\sqrt{0}=0 ou x=0=0x=-\sqrt{0}=0
Ainsi la solution de l'équation x2=0x^{2}=0 est :
S={0}S=\left\{0 \right\}
Question 6

x2=7x^{2}=7

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=7x^{2}=7 équivaut successivement à :
x=7x=\sqrt{7} ou x=7x=-\sqrt{7}
Ainsi les solutions de l'équation x2=7x^{2}=7 sont :
S={7;7}S=\left\{-\sqrt{7} ;\sqrt{7} \right\}
Question 7

x2+5=3x^{2} +5=3

Correction
x2+5=3x^{2} +5=3
x2=35x^{2} =3-5
x2=2x^{2} =-2
Attention, ici pour cette équation x2=2x^{2}=-2, il est impératif de se souvenir qu'un carrée est positif ou nul.
Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation x2=2x^{2}=-2 .
On écrit alors :
S={}S=\left\{\emptyset\right\}
Question 8

x2=425x^{2} =\frac{4}{25}

Correction
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=425x^{2} =\frac{4}{25} équivaut successivement à :
x=425x=\sqrt{\frac{4}{25} } ou x=425x=-\sqrt{\frac{4}{25} }
x=425x=\frac{\sqrt{4} }{\sqrt{25} } ou x=425x=-\frac{\sqrt{4} }{\sqrt{25} }
x=25x=\frac{2}{5} ou x=25x=-\frac{2}{5}
Ainsi les solutions de l'équation x2=425x^{2} =\frac{4}{25} sont :
S={25;25}S=\left\{-\frac{2}{5} ;\frac{2}{5} \right\}
Question 9

x(x3)=x2+15x\left(x-3\right)=x^{2} +15

Correction
Ici, nous allons commencer par développer l'expression . Cela nous facilitera la résolution de l'équation :
x(x3)=x2+15x\left(x-3\right)=x^{2} +15 équivaut successivement à :
x×x+x×(3)=x2+15x\times x+x\times \left(-3\right)=x^{2} +15
x23x=x2+15x^{2} -3x=x^{2} +15
x23xx2=15x^{2} -3x-x^{2} =15
3x=15-3x=15
x=153x=\frac{15}{-3}
x=5x=-5
Ainsi la solution de l'équation x(x3)=x2+15x\left(x-3\right)=x^{2} +15 est :
S={5}S=\left\{-5 \right\}

Question 10

3x2+2=263x^{2} +2=26

Correction
3x2+2=263x^{2} +2=26
3x2=2623x^{2} =26-2
3x2=243x^{2} =24
x2=243x^{2} =\frac{24}{3}
x2=8x^{2} =8
Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=8x^{2}=8 équivaut successivement à :
x=8x=\sqrt{8} ou x=8x=-\sqrt{8}
Ainsi les solutions de l'équation 3x2+2=263x^{2} +2=26 sont :
S={8;8}S=\left\{-\sqrt{8} ;\sqrt{8} \right\}