Comment donner un encadrement en utilisant la fonction carrée - Exercice 1

$$x\in\left[2;5\right]$$ se traduit en inégalité par $$2\le x\le5$$ .
Or la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$2^{2}\le x^{2}\le5^{2}$$
Ainsi :

$$x\in\left[-4;-3\right]$$ se traduit en inégalité par $$-4\le x\le -3$$ .
Or la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Il vient alors :
$$\left(-4\right)^{2} \ge x^{2} \ge \left(-3\right)^{2}$$
$$16\ge x^{2} \ge 9$$
Ainsi :

$$x\in\left[1;6\right]$$ se traduit en inégalité par $$1\le x\le6$$ .
Or la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$1^{2}\le x^{2}\le6^{2}$$
Ainsi :

La fonction carré $$f$$ n’est pas monotone sur l’intervalle $$x\in\left[-7;2\right]$$.
$$f$$ est décroissante sur $$\left[-7;0\right]$$ et croissante sur $$\left[0;2\right]$$.
Nous allons nous aider du tableau de variation de la fonction $$x\mapsto x^{2}$$. Il vient alors que :

Ainsi : . Nous voyons bien que le minimum vaut $${\color{red}0}$$ et le maximum vaut $${\color{blue}49}$$ .

La fonction carré $$f$$ n’est pas monotone sur l’intervalle $$x\in\left[-1;3\right]$$.
$$f$$ est décroissante sur $$\left[-1;0\right]$$ et croissante sur $$\left[0;3\right]$$.
Nous allons nous aider du tableau de variation de la fonction $$x\mapsto x^{2}$$. Il vient alors que :

Ainsi : . Nous voyons bien que le minimum vaut $${\color{red}0}$$ et le maximum vaut $${\color{blue}9}$$ .

$$x\in\left]\sqrt{5};9\right]$$ se traduit en inégalité par $$\sqrt{5} < x\le 9$$ .
Or la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ donc deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}<x^{2}\le9^{2}$$
Ainsi :