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Fonction de référence : La fonction carrée $f\left(x\right)=x^{2}$
Comment donner un encadrement en utilisant la fonction carrée - Exercice 1
15 min
25
Question 1
Soit
x
∈
[
2
;
5
]
x\in\left[2;5\right]
x
∈
[
2
;
5
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
x
∈
[
2
;
5
]
x\in\left[2;5\right]
x
∈
[
2
;
5
]
se traduit en inégalité par
2
≤
x
≤
5
2\le x\le5
2
≤
x
≤
5
.
Or la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
est
croissante
sur l'intervalle
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
donc
deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
. Il vient alors :
2
2
≤
x
2
≤
5
2
2^{2}\le x^{2}\le5^{2}
2
2
≤
x
2
≤
5
2
Ainsi :
4
≤
x
2
≤
25
4\le x^{2}\le25
4
≤
x
2
≤
25
Question 2
Soit
x
∈
[
−
4
;
−
3
]
x\in\left[-4;-3\right]
x
∈
[
−
4
;
−
3
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
x
∈
[
−
4
;
−
3
]
x\in\left[-4;-3\right]
x
∈
[
−
4
;
−
3
]
se traduit en inégalité par
−
4
≤
x
≤
−
3
-4\le x\le -3
−
4
≤
x
≤
−
3
.
Or la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
est
décroissante
sur l'intervalle
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
donc
deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire
. Il vient alors :
(
−
4
)
2
≥
x
2
≥
(
−
3
)
2
\left(-4\right)^{2} \ge x^{2} \ge \left(-3\right)^{2}
(
−
4
)
2
≥
x
2
≥
(
−
3
)
2
16
≥
x
2
≥
9
16\ge x^{2} \ge 9
16
≥
x
2
≥
9
Ainsi :
9
≤
x
2
≤
16
9\le x^{2}\le16
9
≤
x
2
≤
16
Question 3
Soit
x
∈
[
1
;
6
]
x\in\left[1;6\right]
x
∈
[
1
;
6
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
x
∈
[
1
;
6
]
x\in\left[1;6\right]
x
∈
[
1
;
6
]
se traduit en inégalité par
1
≤
x
≤
6
1\le x\le6
1
≤
x
≤
6
.
Or la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
est
croissante
sur l'intervalle
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
donc
deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
. Il vient alors :
1
2
≤
x
2
≤
6
2
1^{2}\le x^{2}\le6^{2}
1
2
≤
x
2
≤
6
2
Ainsi :
1
≤
x
2
≤
36
1\le x^{2}\le36
1
≤
x
2
≤
36
Question 4
Soit
x
∈
[
−
7
;
2
]
x\in\left[-7;2\right]
x
∈
[
−
7
;
2
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
La fonction carré
f
f
f
n’est pas monotone sur l’intervalle
x
∈
[
−
7
;
2
]
x\in\left[-7;2\right]
x
∈
[
−
7
;
2
]
.
f
f
f
est décroissante sur
[
−
7
;
0
]
\left[-7;0\right]
[
−
7
;
0
]
et croissante sur
[
0
;
2
]
\left[0;2\right]
[
0
;
2
]
.
Nous allons nous aider du tableau de variation de la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
. Il vient alors que :
Ainsi :
0
≤
x
2
≤
49
0\le x^{2}\le49
0
≤
x
2
≤
49
. Nous voyons bien que le minimum vaut
0
{\color{red}0}
0
et le maximum vaut
49
{\color{blue}49}
49
.
Question 5
Soit
x
∈
[
−
1
;
3
]
x\in\left[-1;3\right]
x
∈
[
−
1
;
3
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
La fonction carré
f
f
f
n’est pas monotone sur l’intervalle
x
∈
[
−
1
;
3
]
x\in\left[-1;3\right]
x
∈
[
−
1
;
3
]
.
f
f
f
est décroissante sur
[
−
1
;
0
]
\left[-1;0\right]
[
−
1
;
0
]
et croissante sur
[
0
;
3
]
\left[0;3\right]
[
0
;
3
]
.
Nous allons nous aider du tableau de variation de la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
. Il vient alors que :
Ainsi :
0
≤
x
2
≤
9
0\le x^{2}\le9
0
≤
x
2
≤
9
. Nous voyons bien que le minimum vaut
0
{\color{red}0}
0
et le maximum vaut
9
{\color{blue}9}
9
.
Question 6
Soit
x
∈
]
5
;
9
]
x\in\left]\sqrt{5};9\right]
x
∈
]
5
;
9
]
. Donner un encadrement de
x
2
x^{2}
x
2
.
Correction
x
∈
]
5
;
9
]
x\in\left]\sqrt{5};9\right]
x
∈
]
5
;
9
]
se traduit en inégalité par
5
<
x
≤
9
\sqrt{5} < x\le 9
5
<
x
≤
9
.
Or la fonction
x
↦
x
2
x\mapsto x^{2}
x
↦
x
2
est
croissante
sur l'intervalle
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
donc
deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
. Il vient alors :
(
5
)
2
<
x
2
≤
9
2
\left(\sqrt{5}\right)^{2}<x^{2}\le9^{2}
(
5
)
2
<
x
2
≤
9
2
Ainsi :
5
<
x
2
≤
81
5<x^{2}\le81
5
<
x
2
≤
81