Savoir résoudre une inéquation du premier degré - Equations et inéquations - Seconde

Question 1

Résoudre dans

\mathbb{R}

les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.

$4x>-4x+5+62,2$

Correction

4x>-4x+5+62,2

équivaut successivement à :

4x+4x>5+62,2

8x>67,2

x>\frac{67,2}{8}

x>8,4

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]8,4;+\infty \right[

Question 2

$-7-6x<-39+2x$

Correction

-7-6x<-39+2x

équivaut successivement à :

-7-6x-2x<-39

-7-8x<-39

-8x<-39+7

-8x<-32

x>\frac{-32}{-8}

. Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $-8$ qui est un nombre négatif.

x>4

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]4;+\infty \right[

Question 3

$3x-1\le 2\left(5x+2\right)$

Correction

3x-1\le 2\left(5x+2\right)

équivaut successivement à :

3x-1\le 10x+4

3x-10x\le 4+1

-7x\le 5

x\ge \frac{5}{-7}

x\ge -\frac{5}{7}

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left[-\frac{5}{7};+\infty \right[

Question 4

$72-11x\ge -5$

Correction

72-11x\ge -5

équivaut successivement à :

-11x\ge -5-72

-11x\ge -77

x\le \frac{-77}{-11}

. Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $-11$ qui est un nombre négatif.

x\le 7

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;7 \right]

Question 5

$-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-9-2+\frac{157}{3}$

Correction

-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-9-2+\frac{157}{3}

équivaut successivement à :

-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-11+\frac{157}{3}

-\frac{56}{9}x-\frac{6}{9}x\ge -11+\frac{157}{3}

-\frac{62}{9}x\ge -11+\frac{157}{3}

Pour résoudre ce type d'équation, il faut commencer par mettre tout au même dénominateur.

-\frac{62}{9}x\ge -\frac{33}{3}+\frac{157}{3}

-\frac{62}{9}x\ge \frac{124}{3}

-\frac{62}{9}x\ge \frac{124\times3}{3\times3}

-\frac{62}{9}x\ge \frac{372}{9}

.

Si $c$ est un réel positif non nul alors $\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d$ .
Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques, non nuls et positifs alors on peut les "enlever" .

Ainsi :

-62x\ge 372

x\le \frac{372}{-62}

. Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $-62$ qui est un nombre négatif.

x\le -6

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;-6 \right]

Question 6

$x^{2}-2\le \left(x-3\right)^{2}$

Correction

x^{2}-2\le \left(x-3\right)^{2}

équivaut successivement à :

x^{2}-2\le x^{2}-2\times x\times3+3^{2}

x^{2}-2\le x^{2}-6x+9

x^{2}\le x^{2}-6x+9+2

x^{2}\le x^{2}-6x+11

x^{2}-x^{2}+6x\le 11

6x\le 11

x\le \frac{11}{6}

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;\frac{11}{6}\right]

Question 7

$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)<3x\left(x-7\right)$

Correction

\left(3x-1\right)\left(x+2\right)<3x\left(x-7\right)

équivaut successivement à :

3x\times x+3x\times 2+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times 2<3x\times x+3x\times \left(-7\right)

3x^{2} +6x-x-2<3x^{2} -21x

3x^{2} +6x-x-2-3x^{2} +21x<0

26x-2<0

26x<2

x<\frac{2}{26}

x<\frac{1\times \color{red}2}{13\times \color{red}2}

x<\frac{1\times \cancel{ \color{red}2}}{13\times \cancel{ \color{red}2}}

x<\frac{1}{13}

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;\frac{1}{13}\right[

Question 8

$\frac{x+3}{4} \ge \frac{2x-1}{5}$

Correction

\frac{x+3}{4} \ge \frac{2x-1}{5}

équivaut successivement à :
Pour résoudre ce type d'équation, il faut commencer par mettre tout au même dénominateur.

\frac{5\times \left(x+3\right)}{5\times 4} \ge \frac{4\times \left(2x-1\right)}{4\times 5}

\frac{5\times x+5\times 3}{20} \ge \frac{4\times 2x+4\times \left(-1\right)}{20}

\frac{5x+15}{20} \ge \frac{8x-4}{20}

Si $c$ est un réel positif non nul alors $\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d$ .
Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques, non nuls et positifs alors on peut les "enlever" .

5x+15\ge 8x-4

5x\ge 8x-4-15

5x\ge 8x-19

5x-8x\ge -19

-3x\ge -19

x\le \frac{-19}{-3}

Ainsi :

x\le \frac{19}{3}

L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;\frac{19}{3}\right]

Savoir résoudre une inéquation du premier degré - Exercice 2

4x>−4x+5+62,24x>-4x+5+62,24x>−4x+5+62,2

−7−6x<−39+2x-7-6x<-39+2x−7−6x<−39+2x

3x−1≤2(5x+2)3x-1\le 2\left(5x+2\right)3x−1≤2(5x+2)

72−11x≥−572-11x\ge -572−11x≥−5

−569x≥69x−9−2+1573-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-9-2+\frac{157}{3}−956​x≥96​x−9−2+3157​

x2−2≤(x−3)2x^{2}-2\le \left(x-3\right)^{2}x2−2≤(x−3)2

(3x−1)(x+2)<3x(x−7)\left(3x-1\right)\left(x+2\right)<3x\left(x-7\right)(3x−1)(x+2)<3x(x−7)

x+34≥2x−15\frac{x+3}{4} \ge \frac{2x-1}{5} 4x+3​≥52x−1​

$4x>-4x+5+62,2$

$-7-6x<-39+2x$

$3x-1\le 2\left(5x+2\right)$

$72-11x\ge -5$

$-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-9-2+\frac{157}{3}$

$x^{2}-2\le \left(x-3\right)^{2}$

$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)<3x\left(x-7\right)$

$\frac{x+3}{4} \ge \frac{2x-1}{5}$