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Savoir résoudre une inéquation du premier degré - Exercice 1

15 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.
Question 1

2x−14≥02x-14\ge0

Correction
2x−14≥02x-14\ge0 équivaut successivement à :
2x≥142x\ge14
x≥142x\ge \frac{14}{2}
x≥7x\ge 7
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[7;+∞[S=\left[7;+\infty \right[
Question 2

18−3x≥018-3x\ge0

Correction
−3x≥−18-3x\ge -18
x≤−18−3x\le \frac{-18}{-3} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −3-3 qui est un nombre négatif.
x≤6x\le 6
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;6]S=\left]-\infty ;6\right]

Question 3

5x−1<2x+75x-1<2x+7

Correction
5x−1<2x+75x-1<2x+7 équivaut successivement à :
5x<2x+7+15x<2x+7+1
5x<2x+85x<2x+8
5x−2x<85x-2x<8
3x<83x<8
x<83x<\frac{8}{3}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;83[S=\left]-\infty ;\frac{8}{3} \right[

Question 4

2x+2<6x+142x+2<6x+14

Correction
2x+2<6x+142x+2<6x+14 équivaut successivement à :
2x<6x+14−22x<6x+14-2
2x<6x+122x<6x+12
2x−6x<122x-6x<12
−4x<12-4x<12
x>12−4x>\frac{12}{-4} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −4-4 qui est un nombre négatif.
x>−3x>-3
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−3;+∞[S=\left]-3;+\infty \right[
Question 5

2(x−5)≥3(4x−6)2\left(x-5\right)\ge 3\left(4x-6\right)

Correction
Ici, nous allons commencer par développer l'expression.
2(x−5)≥3(4x−6)2\left(x-5\right)\ge 3\left(4x-6\right)
2×x+2×(−5)≥3×4x+3×(−6)2\times x+2\times \left(-5\right)\ge 3\times 4x+3\times \left(-6\right)
2x−10≥12x−182x-10\ge 12x-18
2x≥12x−18+102x\ge 12x-18+10
2x≥12x−82x\ge 12x-8
2x−12x≥−82x-12x\ge -8
−10x≥−8-10x\ge -8
x≤−8−10x\le \frac{-8}{-10} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −10-10 qui est un nombre négatif.
x≤810x\le \frac{8}{10}
x≤45x\le \frac{4}{5}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;45]S=\left]-\infty ;\frac{4}{5} \right]
Question 6

x−(3+2x)≤−5x+4x-\left(3+2x\right)\le -5x+4

Correction
x−(3+2x)≤−5x+4x-\left(3+2x\right)\le -5x+4 équivaut successivement :
x−3−2x≤−5x+4x-3-2x\le -5x+4
−3−x≤−5x+4-3-x\le -5x+4
−x≤−5x+4+3-x\le -5x+4+3
−x≤−5x+7-x\le -5x+7
−x+5x≤7-x+5x\le 7
4x≤74x\le 7
x≤74x\le \frac{7}{4}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;74]S=\left]-\infty ;\frac{7}{4} \right]
Question 7

x−12+5x3≤7\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le 7

Correction
x−12+5x3≤7\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le 7
x−12+5x3≤71\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le \frac{7}{1} . Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera 66
3×(x−1)3×2+5x×23×2≤7×61×6\frac{3\times \left(x-1\right)}{3\times 2} +\frac{5x\times 2}{3\times 2} \le \frac{7\times 6}{1\times 6}
3x−36+10x6≤426\frac{3x-3}{6} +\frac{10x}{6} \le \frac{42}{6}
  • Si cc est un réel positif alors ac+bc≤dc⇔a+b≤d\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d .
  • Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .
3x−3+10x≤423x-3+10x\le 42 . Nous avons donc enlever les dénominateurs qui valaient tous 66 car 66 est positif.
13x−3≤4213x-3\le 42
13x≤42+313x\le 42+3
13x≤4513x\le 45
x≤4513x\le \frac{45}{13}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;4513]S=\left]-\infty ;\frac{45}{13} \right]

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