Savoir résoudre une équation produit nul - Exercice 4

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$x^{2} -36=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}x}^{2} -{\color{red}6}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x}$$ et $$b={\color{red}6}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x}-\color{red}6\right)\left({\color{blue}x}+\color{red}6\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x-6\right)\left(x+6\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x-6=0$$ ou $$x+6=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x-6=0$$ qui donne $$x=6$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+6=0$$ qui donne $$x=-6$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(x+7\right)^{2} -4=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(\color{blue}x+7\right)^{2} -{\color{red}2}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x+7}$$ et $$b={\color{red}2}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x+7}-\color{red}2\right)\left({\color{blue}x+7}+\color{red}2\right)=0$$
$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$$ . $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x+5\right)\left(x+9\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x+5=0$$ ou $$x+9=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x+5=0$$ qui donne $$x=-5$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+9=0$$ qui donne $$x=-9$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(2x-1\right)^{2} -49=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}2x-1}\right)^{2} -{\color{red}7}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}2x-1}$$ et $$b={\color{red}7}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}2x-1}-{\color{red}7}\right)\left({\color{blue}2x-1}+{\color{red}7}\right)=0$$
$$\left(2x-8\right)\left(2x+6\right)=0$$ . $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(2x-8\right)\left(2x+6\right)=0$$ revient à résoudre :
$$2x-8=0$$ ou $$2x+6=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$2x-8=0$$ ainsi $$2x=8$$ ce qui donne $$x=\frac{8}{2}=4$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$2x+6=0$$ ainsi $$2x=-6$$ ce qui donne $$x=\frac{-6}{2}=-3$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(3x-1\right)^{2} =\left(2x+3\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}3x-1}\right)^{2} -\left({\color{red}2x+3}\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :Ici nous avons $$a={\color{blue}3x-1}$$ et $$b={\color{red}2x+3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}3x-1}-\left({\color{red}2x+3}\right)\right)\left({\color{blue}3x-1}+\left({\color{red}2x+3}\right)\right)=0$$ .
$$\left(3x-1-2x-3\right)\left(3x-1+2x+3\right)=0$$
$$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0$$. $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x-4=0$$ ou $$5x+2=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x-4=0$$ qui donne $$x=4$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$5x+2=0$$ qui donne $$5x=-2$$. D'où : $$x=-\frac{2}{5}$$

Les solutions de l'équation sont alors :