Savoir résoudre une équation produit nul - Exercice 3

12 min
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Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

8x2−11x=08x^{2} -11x=0

Correction
8x2−11x=08x^{2} -11x=0 équivaut successivement à :
Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
x×8x−11×x=0 {\color{blue}x}\times 8x-11\times {\color{blue}x}=0 . On factorise maintenant par xx .
x(8x−11)=0{\color{blue}x}\left(8x-11\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
x=0x=0 ou 8x−11=08x-11=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 8x−11=08x-11=0 qui donne 8x=118x=11. D'où : x=118x=\frac{11}{8}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;118}S=\left\{0;\frac{11}{8}\right\}
    Question 2

    x2+3x+8=8x^{2} +3x+8=8

    Correction
    x2+3x+8=8x^{2} +3x+8=8 équivaut successivement à :
    x2+3x=8−8x^{2} +3x=8-8
    x2+3x=0x^{2} +3x=0
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    x×x+3×x=0 {\color{blue}x}\times x+3\times {\color{blue}x}=0 . On factorise maintenant par xx .
    x(x+3)=0{\color{blue}x}\left(x+3\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    x=0x=0 ou x+3=0x+3=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons x+3=0x+3=0 qui donne x=−3x=-3
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−3;0}S=\left\{-3;0\right\}

    Question 3

    2x2−7x−4=−42x^{2} -7x-4=-4

    Correction
    2x2−7x−4=−42x^{2} -7x-4=-4 équivaut successivement à :
    2x2−7x=−4+42x^{2} -7x=-4+4
    2x2−7x=02x^{2} -7x=0
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    2×x×x−7×x=0 2\times{\color{blue}x}\times x-7\times {\color{blue}x}=0 . On factorise maintenant par xx .
    x(2x−7)=0{\color{blue}x}\left(2x-7\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    x=0x=0 ou 2x−7=02x-7=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 2x−7=02x-7=0 ainsi 2x=72x=7 ce qui donne x=72x=\frac{7}{2}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;72}S=\left\{0;\frac{7}{2}\right\}

    Question 4

    5x−3x2=05x-3x^{2}=0

    Correction
    5x−3x2=05x-3x^{2}=0 équivaut successivement à :
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    x×5−3×x×x=0 {\color{blue}x}\times 5-3\times {\color{blue}x}\times x=0 . On factorise maintenant par xx .
    x(5−3x)=0{\color{blue}x}\left(5-3x\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    x=0x=0 ou 5−3x=05-3x=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 5−3x=05-3x=0 qui donne −3x=−5-3x=-5. D'où : x=−5−3=53x=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;53}S=\left\{0;\frac{5}{3}\right\}

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