Savoir résoudre une équation produit nul - Exercice 2

10 min
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Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

(−3x−4)(4x+5)=0\left(-3x-4\right)\left(4x+5\right)=0

Correction
(−3x−4)(4x+5)=0\left(-3x-4\right)\left(4x+5\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
−3x−4=0-3x-4=0 ou 4x+5=04x+5=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons −3x−4=0-3x-4=0 qui donne −3x=4-3x=4 . D'où : x=−43x=-\frac{4}{3}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 4x+5=04x+5=0 qui donne 4x=−54x=-5 . D'où : x=−54x=-\frac{5}{4}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−54;−43}S=\left\{-\frac{5}{4};-\frac{4}{3}\right\}
    Question 2

    (13x+17)(14x+3)=0\left(13x+17\right)\left(14x+3\right)=0

    Correction
    (13x+17)(14x+3)=0\left(13x+17\right)\left(14x+3\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    13x+17=013x+17=0 ou 14x+3=014x+3=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 13x+17=013x+17=0 qui donne 13x=−1713x=-17 . D'où : x=−1713x=-\frac{17}{13}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 14x+3=014x+3=0 qui donne 14x=−314x=-3 . D'où : x=−314x=-\frac{3}{14}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−1713;−314}S=\left\{-\frac{17}{13};-\frac{3}{14}\right\}
    Question 3

    (−x−9)(−11x−18)=0\left(-x-9\right)\left(-11x-18\right)=0

    Correction
    (−x−9)(−11x−18)=0\left(-x-9\right)\left(-11x-18\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    −x−9=0-x-9=0 ou −11x−18=0-11x-18=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons −x−9=0-x-9=0 qui donne −x=9-x=9 . D'où : x=−9x=-9
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons −11x−18=0-11x-18=0 qui donne −11x=18-11x=18 . D'où : x=−1811x=-\frac{18}{11}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={−9;−1811}S=\left\{-9 ;-\frac{18}{11}\right\}
    Question 4

    (2x−10)(6x−2)=0\left(2x-10\right)\left(6x-2\right)=0

    Correction
    (2x−10)(6x−2)=0\left(2x-10\right)\left(6x-2\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    2x−10=02x-10=0 ou 6x−2=06x-2=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 2x−10=02x-10=0 qui donne 2x=102x=10 . D'où : x=102x=\frac{10}{2} ainsi x=5x=5 .
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 6x−2=06x-2=0 qui donne 6x=26x=2 . D'où : x=26x=\frac{2}{6} . Nous pouvons simplifier la fraction : x=1×23×2=13x=\frac{1\times \cancel{ \color{blue}2}}{3\times \cancel{ \color{blue}2}}=\frac{1}{3}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={13;5}S=\left\{\frac{1}{3} ;5\right\}
    Question 5

    (−21x+3)(−16x+12)=0\left(-21x+3\right)\left(-16x+12\right)=0

    Correction
    (−21x+3)(−16x+12)=0\left(-21x+3\right)\left(-16x+12\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    −21x+3=0-21x+3=0 ou −16x+12=0-16x+12=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons −21x+3=0-21x+3=0 qui donne −21x=−3-21x=-3 . D'où : x=321x=\frac{3}{21}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons −16x+12=0-16x+12=0 qui donne −16x=−12-16x=-12 . D'où : x=1216x=\frac{12}{16} . Nous pouvons simplifier la fraction : x=3×44×4=34x=\frac{3\times \cancel{ \color{blue}4}}{4\times \cancel{ \color{blue}4}}=\frac{3}{4}
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={321;34}S=\left\{\frac{3}{21} ;\frac{3}{4}\right\}

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