Equations et inéquations

Savoir résoudre une équation produit nul - Exercice 1

12 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

(3x+4)(5x10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0

Correction
(3x+4)(5x10)=0\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
3x+4=03x+4=0 ou 5x10=05x-10=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 3x+4=03x+4=0 qui donne 3x=43x=-4 . D'où : x=43x=-\frac{4}{3}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 5x10=05x-10=0 qui donne 5x=105x=10 . D'où : x=105=2x=\frac{10}{5}=2
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={43;2}S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\}

    Question 2

    (x+2)(4x7)=0\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0

    Correction
    (x+2)(4x7)=0\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    x+2=0x+2=0 ou 4x7=04x-7=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x+2=0x+2=0 qui donne x=2x=-2 .
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 4x7=04x-7=0 qui donne 4x=74x=7 . D'où : x=74x=\frac{7}{4}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={2;74}S=\left\{-2;\frac{7}{4}\right\}

    Question 3

    (8x7)(2x18)=0\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0

    Correction
    (8x7)(2x18)=0\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    8x7=08x-7=0 ou 2x18=02x-18=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 8x7=08x-7=0 qui donne 8x=78x=7 . D'où : x=78x=\frac{7}{8}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 2x18=02x-18=0 qui donne 2x=182x=18 . D'où : x=182=9x=\frac{18}{2}=9
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={78;9}S=\left\{\frac{7}{8};9\right\}

    Question 4

    x(x3)=0x\left(x-3\right)=0

    Correction
    x(x3)=0x\left(x-3\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    x=0x=0 ou x3=0x-3=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0 .
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons x3=0x-3=0 d'où : x=3x=3
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;3}S=\left\{0;3\right\}
    Question 5

    (7x1)(2x+11)=0\left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0

    Correction
    (7x1)(2x+11)=0\left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    7x1=07x-1=0 ou 2x+11=02x+11=0
  • D’une part :\text{\red{D'une part :}} résolvons 7x1=07x-1=0 qui donne 7x=17x=1 . D'où : x=17x=\frac{1}{7}
  • D’autre part :\text{\red{D'autre part :}} résolvons 2x+11=02x+11=0 qui donne 2x=112x=-11 . D'où : x=112x=-\frac{11}{2}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={112;17}S=\left\{-\frac{11}{2};\frac{1}{7}\right\}
    Question 6

    (2x3)(x+4)(3x7)=0\left(2x-3\right)\left(x+4\right)\left(-3x-7\right)=0

    Correction
    (2x3)(x+4)(3x7)=0\left(2x-3\right)\left(x+4\right)\left(-3x-7\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul.\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
    2x3=02x-3=0 ou x+4=0x+4=0 ou 3x7=0-3x-7=0
  • Premieˋrement :\text{\red{Premièrement :}} résolvons 2x3=02x-3=0 qui donne 2x=32x=3 . D'où : x=32x=\frac{3}{2} .
  • Deuxieˋmement :\text{\red{Deuxièmement :}} résolvons x+4=0x+4=0 qui donne x=4x=-4 .
  • Troisieˋmement :\text{\red{Troisièmement :}} résolvons 3x7=0-3x-7=0 qui donne 3x=7-3x=7 . D'où : x=73=73x=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={4;73;32}S=\left\{-4;-\frac{7}{3};\frac{3}{2}\right\}