Savoir résoudre une équation du premier degré - Exercice 3

15 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

2x−33=3x+32\frac{2x-3}{3} =\frac{3x+3}{2}

Correction
2x−33=3x+32\frac{2x-3}{3} =\frac{3x+3}{2} équivaut successivement à :
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(2x−3)×2=3×(3x+3)\left(2x-3\right)\times 2=3\times\left(3x+3\right)
4x−6=9x+94x-6=9x+9
4x−9x=9+64x-9x=9+6
−5x=15-5x=15
x=15−5x=\frac{15}{-5}
x=−3×51×5x=-\frac{3\times5}{1\times5}
x=−3×51×5x=-\frac{3\times \cancel{ \color{blue}5}}{1\times \cancel{ \color{blue}5}}
x=−3x=-3
La solution de l'équation est alors :
S={−3}S=\left\{-3\right\}
Question 2

5x+74=4x−65\frac{5x+7}{4} =\frac{4x-6}{5}

Correction
5x+74=4x−65\frac{5x+7}{4} =\frac{4x-6}{5} équivaut successivement à :
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(5x+7)×5=4×(4x−6)\left(5x+7\right)\times 5=4\times\left(4x-6\right)
25x+35=16x−2425x+35=16x-24
25x−16x=−24−3525x-16x=-24-35
9x=−599x=-59
x=−599x=\frac{-59}{9}
La solution de l'équation est alors :
S={−599}S=\left\{\frac{-59}{9}\right\}
Question 3

x−13=x2+54x-\frac{1}{3} =\frac{x}{2} +\frac{5}{4}

Correction
x−13=x2+54x-\frac{1}{3} =\frac{x}{2} +\frac{5}{4} . Pour ce genre d'équation, il faut commencer par mettre tous les termes au même dénominateur.
x1−13=x2+54\frac{x}{1}-\frac{1}{3} =\frac{x}{2} +\frac{5}{4} . On remarque qu'un dénominateur commun est 1212.
x×121×12−1×43×4=x×62×6+5×34×3\frac{x\times 12}{1\times 12} -\frac{1\times 4}{3\times 4} =\frac{x\times 6}{2\times 6} +\frac{5\times 3}{4\times 3}
12x12−412=6x12+1512\frac{12x}{12} -\frac{4}{12} =\frac{6x}{12} +\frac{15}{12} . Ici, toutes les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons garder que les numérateurs pour résoudre cette équation.
Soient A,BA,B et DD trois réels et CC un réel non nul, alors :
  • (AC+BC=DC)⇒(A+B=D)\left(\frac{A}{C} +\frac{B}{C} =\frac{D}{C} \right)\Rightarrow \left(A+B=D\right)
    • 12x−4=6x+1512x-4=6x+15
    12x−6x=15+412x-6x=15+4
    6x=196x=19
    x=196x=\frac{19}{6}
    La solution de l'équation est alors :
    S={196}S=\left\{\frac{19}{6}\right\}

    Question 4

    2x8−54=3x+16\frac{2x}{8}-\frac{5}{4} =3x +\frac{1}{6}

    Correction
    2x8−54=3x+16\frac{2x}{8}-\frac{5}{4} =3x +\frac{1}{6} . Pour ce genre d'équation, il faut commencer par mettre tous les termes au même dénominateur.
    2x8−54=3x1+16\frac{2x}{8}-\frac{5}{4} =\frac{3x}{1} +\frac{1}{6} . On remarque qu'un dénominateur commun est 2424.
    2x×38×3−5×64×6=3x×241×24+1×46×4\frac{2x\times 3}{8\times 3} -\frac{5\times 6}{4\times 6} =\frac{3x\times 24}{1\times 24} +\frac{1\times 4}{6\times 4}
    6x24−3024=72x24+424\frac{6x}{24} -\frac{30}{24} =\frac{72x}{24} +\frac{4}{24} . Ici, toutes les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons garder que les numérateurs pour résoudre cette équation.
    Soient A,BA,B et DD trois réels et CC un réel non nul, alors :
  • (AC+BC=DC)⇒(A+B=D)\left(\frac{A}{C} +\frac{B}{C} =\frac{D}{C} \right)\Rightarrow \left(A+B=D\right)
    • 6x−30=72x+46x-30=72x+4
    6x−72x=4+306x-72x=4+30
    −66x=34-66x=34
    x=34−66x=\frac{34}{-66}
    x=−17×233×2x=-\frac{17\times2}{33\times2}
    x=−17×233×2x=-\frac{17\times \cancel{ \color{blue}2}}{33\times \cancel{ \color{blue}2}}
    x=−1733x=-\frac{17}{33}
    La solution de l'équation est alors :
    S={−1733}S=\left\{-\frac{17}{33}\right\}
    Question 5

    7x9−56=4x3−4\frac{7x}{9}-\frac{5}{6} =\frac{4x}{3} -4

    Correction
    7x9−56=4x3−4\frac{7x}{9}-\frac{5}{6} =\frac{4x}{3} -4 . Pour ce genre d'équation, il faut commencer par mettre tous les termes au même dénominateur.
    7x9−56=4x3−41\frac{7x}{9}-\frac{5}{6} =\frac{4x}{3} -\frac{4}{1} . On remarque qu'un dénominateur commun est 1818.
    7x×29×2−5×36×3=4x×63×6−4×181×18\frac{7x\times 2}{9\times 2} -\frac{5\times 3}{6\times 3} =\frac{4x\times 6}{3\times 6} -\frac{4\times 18}{1\times 18}
    14x18−1518=24x18−7218\frac{14x}{18} -\frac{15}{18} =\frac{24x}{18} -\frac{72}{18} . Ici, toutes les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons garder que les numérateurs pour résoudre cette équation.
    Soient A,BA,B et DD trois réels et CC un réel non nul, alors :
  • (AC+BC=DC)⇒(A+B=D)\left(\frac{A}{C} +\frac{B}{C} =\frac{D}{C} \right)\Rightarrow \left(A+B=D\right)
    • 14x−15=24x−7214x-15=24x-72
    14x−24x=−72+1514x-24x=-72+15
    −10x=−57-10x=-57
    x=−57−10x=\frac{-57}{-10}
    x=5710x=\frac{57}{10}
    La solution de l'équation est alors :
    S={5710}S=\left\{\frac{57}{10}\right\}

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