Equations et inéquations

Savoir résoudre une équation - Exercice 1

20 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

2x6=02x-6=0

Correction
2x6=02x-6=0 équivaut successivement à :
2x=62x=6
x=62x=\frac{6}{2}
x=3x=3
La solution de l'équation est alors :
S={3}S=\left\{3\right\}
Question 2

3x+4=0-3x+4=0

Correction
3x+4=0-3x+4=0 équivaut successivement à :
3x=4-3x=-4
x=43x=\frac{-4}{-3}
x=43x=\frac{4}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={43}S=\left\{\frac{4}{3}\right\}
Question 3

5x3=15x-3=1

Correction
5x3=15x-3=1 équivaut successivement à :
5x=1+35x=1+3
5x=45x=4
x=45x=\frac{4}{5}
La solution de l'équation est alors :
S={45}S=\left\{\frac{4}{5}\right\}

Question 4

2x7=5x+112x-7=5x+11

Correction
2x7=5x+112x-7=5x+11 équivaut successivement à :
2x=5x+11+72x=5x+11+7
2x=5x+182x=5x+18
2x5x=12x-5x=1
3x=18-3x=18
x=183x=\frac{18}{-3}
x=6x=-6
La solution de l'équation est alors :
S={6}S=\left\{-6\right\}

Question 5

2(x3)=5x+72\left(x-3\right)=5x+7

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
2(x3)=5x+72\left(x-3\right)=5x+7 équivaut successivement à :
2×x+2×(3)=5x+72\times x+2\times \left(-3\right)=5x+7
2x6=5x+72x-6=5x+7
2x5x=7+62x-5x=7+6
3x=13-3x=13
x=133x=\frac{13}{-3}
x=133x=-\frac{13}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={133}S=\left\{-\frac{13}{3}\right\}

Question 6

4(x+5)=2(3x1)4\left(x+5\right)=2\left(3x-1\right)

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
4(x+5)=2(3x1)4\left(x+5\right)=2\left(3x-1\right) équivaut successivement à :
4×x+4×5=2×3x+2×(1)4\times x+4\times 5=2\times 3x+2\times \left(-1\right)
4x+20=6x24x+20=6x-2
4x6x+20=24x-6x+20=-2
2x+20=2-2x+20=-2
2x=220-2x=-2-20
2x=22-2x=-22
x=222x=\frac{-22}{-2}
x=11x=11
La solution de l'équation est alors :
S={11}S=\left\{11\right\}

Question 7

3(5x8)=2(6x7)3\left(5x-8\right)=2\left(6x-7\right)

Correction
On va commencer par utiliser la notion de distributivité :
3(5x8)=2(6x7)3\left(5x-8\right)=2\left(6x-7\right)
3×5x+3×(8)=2×6x+2×(7)3\times 5x+3\times \left(-8\right)=2\times 6x+2\times \left(-7\right)
15x24=12x1415x-24=12x-14
15x12x=14+2415x-12x=-14+24
3x=103x=10
x=103x=\frac{10}{3}
La solution de l'équation est alors :
S={103}S=\left\{\frac{10}{3}\right\}

Question 8

3x24=x+16\frac{3x-2}{4} =\frac{x+1}{6}

Correction
3x24=x+16\frac{3x-2}{4} =\frac{x+1}{6} équivaut successivement à :
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(3x2)×6=4×(x+1)\left(3x-2\right)\times 6=4\times\left(x+1\right)
18x12=4x+418x-12=4x+4
18x4x=4+1218x-4x=4+12
14x=1614x=16
x=1614x=\frac{16}{14}
x=8×27×2x=\frac{8\times2}{7\times2}
x=8×27×2x=\frac{8\times \cancel{ \color{blue}2}}{7\times \cancel{ \color{blue}2}}
x=87x=\frac{8}{7}
La solution de l'équation est alors :
S={87}S=\left\{\frac{8}{7}\right\}

Question 9

2x32=x3+252x-\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5}

Correction
2x32=x3+252x-\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5} . Pour ce genre d'équation, il faut commencer par mettre tous les termes au même dénominateur.
2x132=x3+25\frac{2x}{1} -\frac{3}{2} =\frac{x}{3} +\frac{2}{5} . On remarque qu'un dénominateur commun est 3030.
2x×301×303×152×15=x×103×10+2×65×6\frac{2x\times 30}{1\times 30} -\frac{3\times 15}{2\times 15} =\frac{x\times 10}{3\times 10} +\frac{2\times 6}{5\times 6}
60x304530=10x30+1230\frac{60x}{30} -\frac{45}{30} =\frac{10x}{30} +\frac{12}{30} . Ici, toutes les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons garder que les numérateurs pour résoudre cette équation.
60x45=10x+1260x-45=10x+12
60x10x=12+4560x-10x=12+45
50x=5750x=57
x=5750x=\frac{57}{50}
La solution de l'équation est alors :
S={5750}S=\left\{\frac{57}{50}\right\}