Savoir résoudre des équations à l'aide des identités remarquables - Exercice 1

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$x^{2} -64=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}x}^{2} -{\color{red}8}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x}$$ et $$b={\color{red}8}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x}-\color{red}8\right)\left({\color{blue}x}+\color{red}8\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x-8\right)\left(x+8\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x-8=0$$ ou $$x+8=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x-8=0$$ qui donne $$x=8$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+8=0$$ qui donne $$x=-8$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$64x^2-25=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}8x}\right)^{2} -{\color{red}5}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}8x}$$ et $$b={\color{red}5}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}8x}-\color{red}5\right)\left({\color{blue}8x}+\color{red}5\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(8x-5\right)\left(8x+5\right)=0$$ revient à résoudre :
$$8x-5=0$$ ou $$8x+5=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$8x-5=0$$ d'où $$8x=5$$ ce qui donne $$x=\dfrac{5}{8}$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$8x+5=0$$ d'où $$8x=-5$$ ce qui donne $$x=-\dfrac{5}{8}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(x+6\right)^{2} -9=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(\color{blue}x+6\right)^{2} -{\color{red}3}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x+6}$$ et $$b={\color{red}3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x+6}-\color{red}3\right)\left({\color{blue}x+6}+\color{red}3\right)=0$$
$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)=0$$ . $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x+3\right)\left(x+9\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x+3=0$$ ou $$x+9=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x+3=0$$ qui donne $$x=-3$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+9=0$$ qui donne $$x=-9$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(6x-4\right)^{2} =\left(4x+1\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}6x-4}\right)^{2} -\left({\color{red}4x+1}\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :Ici nous avons $$a={\color{blue}6x-4}$$ et $$b={\color{red}4x+1}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}6x-4}-\left({\color{red}4x+1}\right)\right)\left({\color{blue}6x-4}+\left({\color{red}4x+1}\right)\right)=0$$ .
$$\left(6x-4-4x-1\right)\left(6x-4+4x+1\right)=0$$
$$\left(2x-5\right)\left(10x-3\right)=0$$. $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(2x-5\right)\left(10x-3\right)=0$$ revient à résoudre :
$$2x-5=0$$ ou $$10x-3=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$2x-5=0$$ qui donne $$2x=5$$ . D'où : $$x=\dfrac{5}{2}$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$10x-3=0$$ qui donne $$10x=3$$. D'où : $$x=\dfrac{3}{10}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$9x^{2} -12x+4=0$$
$$\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}3x}\times {\color{red}2}+{\color{red}2}^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}3x}$$ et $$b={\color{red}2}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}3x}-{\color{red}2}\right)^{2}=0$$
$$3x-2=0$$
$$3x=2$$
$$x=\frac{2}{3}$$
La solution de l'équation $$9x^{2} -12x+4=0$$ est alors :

$$3x^{2} +10=7$$ équvaut successivement à :
$$3x^{2} =7-10$$
$$3x^{2} =-3$$
$$x^{2} =-\dfrac{3}{3}$$
$$x^{2} =-1$$
Attention, ici pour cette équation $$x^{2}=-1$$, il est impératif de se souvenir $$\red{\text{qu'un carrée est positif ou nul}}$$
Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation $$x^{2}=-1$$ .
On écrit alors :