Savoir manipuler des inégalités - Exercice 2

D'une part : $$x\le 4$$ alors $$2x\le 8$$
D'autre part : $$y\le 6$$ alors $$3y\le 18$$
Ainsi :
$${\color{red}2x} \le {\color{blue}8}$$ $$\text{et}$$ $${\color{purple}3y}\le {\color{green}18}$$ $$\text{alors}$$ $${\color{red}2x}+{\color{purple}3y}\le {\color{blue}8}+{\color{green}18}$$
Il en résulte donc que :

D'une part : $$x\le \frac{1}{2}$$ alors $$4x\le 2$$
D'autre part : $$y\le 3$$ alors $$5y\le 15$$
Ainsi :
$${\color{red}4x} \le {\color{blue}2}$$ $$\text{et}$$ $${\color{purple}5y}\le {\color{green}15}$$ $$\text{alors}$$ $${\color{red}4x}+{\color{purple}5y}\le {\color{blue}2}+{\color{green}15}$$
Il en résulte donc que :

D'une part : $$x\le 2$$ alors $$3x\le 6$$
D'autre part : $$y\ge -5$$ alors $$-7y\le -7\times \left(-5\right)$$ . Ici nous avons changé le sens de l'inégalité car nous avons multiplié par un nombre négatif . D'où : $$-7y\le 35$$ .
Ainsi :
$${\color{red}3x} \le {\color{blue}6}$$ $$\text{et}$$ $${\color{purple}-7y}\le {\color{green}35}$$ $$\text{alors}$$ $${\color{red}3x}+\left({\color{purple}-7y}\right)\le {\color{blue}6}+{\color{green}35}$$
Il en résulte donc que :