Savoir manipuler des inégalités - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soient xx et yy des nombres réels tels que x≤4x\le 4 et y≤6y\le 6 . Démontrer que 2x+3y≤242x+3y\le 24 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si a≤b{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} c≤d {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+c≤b+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x≤4x\le 4 alors 2x≤82x\le 8
D'autre part : y≤6y\le 6 alors 3y≤183y\le 18
Ainsi :
2x≤8{\color{red}2x} \le {\color{blue}8} et \text{et} 3y≤18 {\color{purple}3y}\le {\color{green}18} alors\text{alors} 2x+3y≤8+18{\color{red}2x}+{\color{purple}3y}\le {\color{blue}8}+{\color{green}18}
Il en résulte donc que :
2x+3y≤242x+3y\le24
Question 2

Soient xx et yy des nombres réels tels que x≤12x\le \frac{1}{2} et y≤3y\le 3 . Démontrer que 4x+5y≤174x+5y\le 17 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si a≤b{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} c≤d {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+c≤b+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x≤12x\le \frac{1}{2} alors 4x≤24x\le 2
D'autre part : y≤3y\le 3 alors 5y≤155y\le 15
Ainsi :
4x≤2{\color{red}4x} \le {\color{blue}2} et \text{et} 5y≤15 {\color{purple}5y}\le {\color{green}15} alors\text{alors} 4x+5y≤2+15{\color{red}4x}+{\color{purple}5y}\le {\color{blue}2}+{\color{green}15}
Il en résulte donc que :
4x+5y≤174x+5y\le 17
Question 3

Soient xx et yy des nombres réels tels que x≤2x\le 2 et y≥−5y\ge -5 . Démontrer que 3x−7y≤413x-7y\le 41 .

Correction
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si a≤b{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} c≤d {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} a+c≤b+d {\color{red}a}+{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}+{\color{green}d}
D'une part : x≤2x\le 2 alors 3x≤63x\le 6
D'autre part : y≥−5y\ge -5 alors −7y≤−7×(−5)-7y\le -7\times \left(-5\right) . Ici nous avons changé le sens de l'inégalité car nous avons multiplié par un nombre négatif . D'où : −7y≤35-7y\le 35 .
Ainsi :
3x≤6{\color{red}3x} \le {\color{blue}6} et \text{et} −7y≤35 {\color{purple}-7y}\le {\color{green}35} alors\text{alors} 3x+(−7y)≤6+35{\color{red}3x}+\left({\color{purple}-7y}\right)\le {\color{blue}6}+{\color{green}35}
Il en résulte donc que :
3x−7y≤413x-7y\le 41

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