Savoir manipuler des inégalités - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit xx un nombre réel tel que −1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Donner un encadrement des expressions suivantes :

x−9x-9

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons soustraire tous les membres de l'inégalité par −9-9 . Il vient alors que :
−1−9≤x−9≤2,5−9-1{\color{red}-9}\le x{\color{red}-9} \le 2,5{\color{red}-9}
Ainsi :
−10≤x−9≤−7,5-10\le x-9 \le -7,5
Question 2

2x2x

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 22 . Il vient alors que :
−1×2≤x×2≤2,5×2-1{\color{red}\times 2}\le x{\color{red}\times 2} \le 2,5{\color{red}\times 2}
Ainsi :
−2≤2x≤5-2\le 2x \le 5
Question 3

3x+13x+1

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 33 . Il vient alors que :
−1×3≤x×3≤2,5×3-1{\color{red}\times 3}\le x{\color{red}\times 3} \le 2,5{\color{red}\times 3}
−3≤3x≤7,5-3\le 3x \le 7,5 . Nous allons additionner tous les membres de l'inégalité par 11 .
−3+1≤3x+1≤7,5+1-3{\color{blue}+1}\le 3x{\color{blue}+1} \le 7,5{\color{blue}+1}
Ainsi :
−2≤3x+1≤8,5-2\le 3x+1 \le 8,5
Question 4

−4x-4x

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par −4-4 .
 Quand on multiplie par un nombre neˊgatif il faut changer le sens de l’ineˊgaliteˊ !\red{\text{ Quand on multiplie par un nombre négatif il faut changer le sens de l'inégalité !}}
Il vient alors que :
−1×(−4)≥x×(−4)≥2,5×(−4)-1{\color{red}\times \left(-4\right)}{\color{blue}\ge} x{\color{red}\times \left(-4\right)} {\color{blue}\ge} 2,5{\color{red}\times \left(-4\right)}
4≥−4x≥−104\ge -4x \ge -10 . Nous allons réécrire l'inégalité du plus petit au plus grand .
Ainsi :
−10≤−4x≤4-10\le -4x \le 4
Question 5

x2\frac{x}{2}

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons diviser tous les membres de l'inégalité par 22 . Il vient alors que :
−12≤x2≤2,52\frac{-1}{\color{red} 2} \le \frac{x}{\color{red} 2} \le \frac{2,5}{\color{red} 2}
Ainsi :
−0,5≤x2≤1,25-0,5\le \frac{x}{2} \le 1,25
Question 6

−6x+2-6x+2

Correction
−1≤x≤2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par −6-6 .
 Quand on multiplie par un nombre neˊgatif il faut changer le sens de l’ineˊgaliteˊ !\red{\text{ Quand on multiplie par un nombre négatif il faut changer le sens de l'inégalité !}}
Il vient alors que :
−1×(−6)≥x×(−6)≥2,5×(−6)-1{\color{red}\times \left(-6\right)}{\color{blue}\ge} x{\color{red}\times \left(-6\right)} {\color{blue}\ge} 2,5{\color{red}\times \left(-6\right)}
6≥−6x≥−156\ge -6x \ge -15 . Nous allons réécrire l'inégalité du plus petit au plus grand .
−15≤−6x≤6-15\le -6x \le 6 . Nous allons additionner tous les membres de l'inégalité par 22 .
−15+2≤−6x+2≤6+2-15+2\le -6x+2 \le 6+2
Ainsi :
−13≤−6x+2≤8-13\le -6x+2 \le 8

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