Equations et inéquations

Les équations classiques à savoir résoudre - Exercice 1

20 min
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Question 1
Résoudre les équations suivantes :

(3x7)(2x)4(2x)(x+6)=0\left(3x-7\right)\left(2-x\right)-4\left(2-x\right)\left(x+6\right)=0

Correction
Nous allons commencer par factoriser notre équation.
Le facteur commun ici est 2x{\color{blue}{2-x}} .
(3x7)(2x)4(2x)(x+6)=0\left(3x-7\right){\color{blue}{\left(2-x\right)}}-4{\color{blue}{\left(2-x\right)}}\left(x+6\right)=0
(2x)[3x74×(x+6)]=0{\color{blue}{\left(2-x\right)}}\left[3x-7-4\times \left(x+6\right)\right]=0
(2x)[3x74×(x+6)]=0\left(2-x\right)\left[3x-7-4\times \left(x+6\right)\right]=0
(2x)[3x7(4×x+4×6)]=0\left(2-x\right)\left[3x-7-\left(4\times x+4\times 6\right)\right]=0
(2x)[3x7(4x+24)]=0\left(2-x\right)\left[3x-7-\left(4x+24\right)\right]=0
(2x)[3x74x24]=0\left(2-x\right)\left[3x-7-4x-24\right]=0 Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
Ainsi :
(2x)(x31)=0\left(2-x\right)\left(-x-31\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : 2x=02-x=0 ou x31=0-x-31=0
  • D'une part : résolvons 2x=02-x=0 qui donne x=2-x=-2 . D'où : x=2x=2
  • D'autre part : résolvons x31=0-x-31=0 qui donne x=31-x=31 . D'où : x=31x=-31
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={31;2}S=\left\{-31;2\right\}

    Question 2

    (2x+6)2=2x+6\left(2x+6\right)^{2} =2x+6

    Correction
    (2x+6)2=2x+6\left(2x+6\right)^{2} =2x+6
    (2x+6)2(2x+6)=0\left(2x+6\right)^{2} -\left(2x+6\right)=0
    (2x+6)×(2x+6)(2x+6)=0\left(2x+6\right)\times \left(2x+6\right)-\left(2x+6\right)=0
    (2x+6)×(2x+6)(2x+6)×1=0{\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times \left(2x+6\right)-{\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times 1=0
    Le facteur commun ici est 2x+6{\color{blue}{2x+6}} . Mais on ne prend qu'un facteur 2x+6{\color{blue}{2x+6}} dans chaque produit .
    (2x+6)[2x+61]=0{\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left[2x+6-1\right]=0
    (2x+6)(2x+5)=0\left(2x+6\right)\left(2x+5\right)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
    On a donc : 2x+6=02x+6=0 ou 2x+5=02x+5=0
  • D'une part : résolvons 2x+6=02x+6=0 qui donne 2x=62x=-6 . D'où : x=62=3x=\frac{-6}{2}=-3
  • D'autre part : résolvons 2x+5=02x+5=0 qui donne 2x=52x=-5 . D'où : x=52x=\frac{-5}{2}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={3;52}S=\left\{-3;\frac{-5}{2}\right\}

    Question 3

    (x+6)2=16(2x1)2\left(x+6\right)^{2} =16\left(2x-1\right)^{2}

    Correction
    (x+6)2=16(2x1)2\left(x+6\right)^{2} =16\left(2x-1\right)^{2}
    (x+6)2=42(2x1)2\left(x+6\right)^{2} =4^{2} \left(2x-1\right)^{2}
    (x+6)2=(4×(2x1))2\left(x+6\right)^{2} =\left(4\times \left(2x-1\right)\right)^{2}
    (x+6)2=(4×2x+4×(1))2\left(x+6\right)^{2} =\left(4\times 2x+4\times \left(-1\right)\right)^{2}
    (x+6)2=(8x4)2\left(x+6\right)^{2} =\left(8x-4\right)^{2}
    (x+6)2(8x4)2=0\left({\color{blue}x+6}\right)^{2} -\left({\color{red}8x-4}\right)^{2} =0
    Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :
    • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    Ici nous avons a=x+6a={\color{blue}x+6} et b=8x4b={\color{red}8x-4}. Il vient alors que :
    (x+6(8x4))(x+6+8x4)=0\left({\color{blue}x+6}-\left({\color{red}8x-4}\right)\right)\left({\color{blue}x+6}+{\color{red}8x-4}\right)=0
    (x+68x+4)(x+6+8x4)=0\left(x+6-8x+4\right)\left(x+6+8x-4\right)=0
    (7x+10)(9x+2)=0\left(-7x+10\right)\left(9x+2\right)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
    On a donc : 7x+10=0-7x+10=0 ou 9x+2=09x+2=0
  • D'une part : résolvons 7x+10=0-7x+10=0 qui donne 7x=10-7x=-10 . D'où : x=107=107x=\frac{-10}{-7}=\frac{10}{7}
  • D'autre part : résolvons 9x+2=09x+2=0 qui donne 9x=29x=-2 . D'où : x=29=29x=\frac{-2}{9}=-\frac{2}{9}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={29;107}S=\left\{-\frac{2}{9};\frac{10}{7}\right\}

    Question 4

    (5x+6)(2x4)=x24\left(5x+6\right)\left(2x-4\right)=x^{2} -4

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons factoriser l'expression x24x^{2} -4 .
    On reconnait l'identité remarquable : a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) . Ainsi : x24=x222=(x2)(x+2)x^{2} -4=x^{2} -2^{2} =\left(x-2\right)\left(x+2\right)
    Dans un deuxième temps, nous pouvons factoriser 2x42x-4 comme suit : 2x4=2×(x2)2x-4=2\times \left(x-2\right)
    Nous allons donc prendre ses factorisations et les intégrer dans l'équation à résoudre :
    (5x+6)(2x4)=x24\left(5x+6\right)\left(2x-4\right)=x^{2} -4
    (5x+6)(2x4)=(x2)(x+2)\left(5x+6\right)\left(2x-4\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)
    (5x+6)×2×(x2)=(x2)(x+2)\left(5x+6\right)\times 2\times \left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)
    (5x+6)×2×(x2)(x2)(x+2)=0\left(5x+6\right)\times 2\times {\color{blue}{\left(x-2\right)}}-{\color{blue}{\left(x-2\right)}}\left(x+2\right)=0
    Le facteur commun ici est x2{\color{blue}{x-2}} .
    (x2)[(5x+6)×2(x+2)]=0{\color{blue}{\left(x-2\right)}}\left[\left(5x+6\right)\times 2-\left(x+2\right)\right]=0
    (x2)[5x×2+6×2(x+2)]=0\left(x-2\right)\left[5x\times 2+6\times 2-\left(x+2\right)\right]=0
    (x2)[10x+12(x+2)]=0\left(x-2\right)\left[10x+12-\left(x+2\right)\right]=0
    (x2)[10x+12x2]=0\left(x-2\right)\left[10x+12-x-2\right]=0
    (x2)(9x+10)=0\left(x-2\right)\left(9x+10\right)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
    On a donc : x2=0x-2=0 ou 9x+10=09x+10=0
  • D'une part : résolvons x2=0x-2=0 qui donne x=2x=2 .
  • D'autre part : résolvons 9x+10=09x+10=0 qui donne 9x=109x=-10 . D'où : x=109=109x=\frac{-10}{9}=-\frac{10}{9}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={109;2}S=\left\{-\frac{10}{9};2\right\}