Les équations classiques à savoir résoudre - Exercice 1

Nous allons commencer par factoriser notre équation.
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{2-x}}$$ .
$$\left(3x-7\right){\color{blue}{\left(2-x\right)}}-4{\color{blue}{\left(2-x\right)}}\left(x+6\right)=0$$
$${\color{blue}{\left(2-x\right)}}\left[3x-7-4\times \left(x+6\right)\right]=0$$
$$\left(2-x\right)\left[3x-7-4\times \left(x+6\right)\right]=0$$
$$\left(2-x\right)\left[3x-7-\left(4\times x+4\times 6\right)\right]=0$$
$$\left(2-x\right)\left[3x-7-\left(4x+24\right)\right]=0$$
$$\left(2-x\right)\left[3x-7-4x-24\right]=0$$ Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
Ainsi : Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : $$2-x=0$$ ou $$-x-31=0$$

D'une part : résolvons $$2-x=0$$ qui donne $$-x=-2$$ . D'où : $$x=2$$

D'autre part : résolvons $$-x-31=0$$ qui donne $$-x=31$$ . D'où : $$x=-31$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(2x+6\right)^{2} =2x+6$$
$$\left(2x+6\right)^{2} -\left(2x+6\right)=0$$
$$\left(2x+6\right)\times \left(2x+6\right)-\left(2x+6\right)=0$$
$${\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times \left(2x+6\right)-{\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times 1=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{2x+6}}$$ . Mais on ne prend qu'un facteur $${\color{blue}{2x+6}}$$ dans chaque produit .
$${\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left[2x+6-1\right]=0$$
$$\left(2x+6\right)\left(2x+5\right)=0$$ Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : $$2x+6=0$$ ou $$2x+5=0$$

D'une part : résolvons $$2x+6=0$$ qui donne $$2x=-6$$ . D'où : $$x=\frac{-6}{2}=-3$$

D'autre part : résolvons $$2x+5=0$$ qui donne $$2x=-5$$ . D'où : $$x=\frac{-5}{2}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(x+6\right)^{2} =16\left(2x-1\right)^{2}$$
$$\left(x+6\right)^{2} =4^{2} \left(2x-1\right)^{2}$$
$$\left(x+6\right)^{2} =\left(4\times \left(2x-1\right)\right)^{2}$$
$$\left(x+6\right)^{2} =\left(4\times 2x+4\times \left(-1\right)\right)^{2}$$
$$\left(x+6\right)^{2} =\left(8x-4\right)^{2}$$
$$\left({\color{blue}x+6}\right)^{2} -\left({\color{red}8x-4}\right)^{2} =0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :Ici nous avons $$a={\color{blue}x+6}$$ et $$b={\color{red}8x-4}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x+6}-\left({\color{red}8x-4}\right)\right)\left({\color{blue}x+6}+{\color{red}8x-4}\right)=0$$
$$\left(x+6-8x+4\right)\left(x+6+8x-4\right)=0$$
$$\left(-7x+10\right)\left(9x+2\right)=0$$ Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : $$-7x+10=0$$ ou $$9x+2=0$$

D'une part : résolvons $$-7x+10=0$$ qui donne $$-7x=-10$$ . D'où : $$x=\frac{-10}{-7}=\frac{10}{7}$$

D'autre part : résolvons $$9x+2=0$$ qui donne $$9x=-2$$ . D'où : $$x=\frac{-2}{9}=-\frac{2}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Dans un premier temps, nous allons factoriser l'expression $$x^{2} -4$$ .
On reconnait l'identité remarquable : $${\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)$$ . Ainsi : $$x^{2} -4=x^{2} -2^{2} =\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$
Dans un deuxième temps, nous pouvons factoriser $$2x-4$$ comme suit : $$2x-4=2\times \left(x-2\right)$$
Nous allons donc prendre ses factorisations et les intégrer dans l'équation à résoudre :
$$\left(5x+6\right)\left(2x-4\right)=x^{2} -4$$
$$\left(5x+6\right)\left(2x-4\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$
$$\left(5x+6\right)\times 2\times \left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$
$$\left(5x+6\right)\times 2\times {\color{blue}{\left(x-2\right)}}-{\color{blue}{\left(x-2\right)}}\left(x+2\right)=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{x-2}}$$ .
$${\color{blue}{\left(x-2\right)}}\left[\left(5x+6\right)\times 2-\left(x+2\right)\right]=0$$
$$\left(x-2\right)\left[5x\times 2+6\times 2-\left(x+2\right)\right]=0$$
$$\left(x-2\right)\left[10x+12-\left(x+2\right)\right]=0$$
$$\left(x-2\right)\left[10x+12-x-2\right]=0$$
$$\left(x-2\right)\left(9x+10\right)=0$$ Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : $$x-2=0$$ ou $$9x+10=0$$

D'une part : résolvons $$x-2=0$$ qui donne $$x=2$$ .

D'autre part : résolvons $$9x+10=0$$ qui donne $$9x=-10$$ . D'où : $$x=\frac{-10}{9}=-\frac{10}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :