Equations et inéquations

Exercices types : 1 ère partie - Exercice 1

25 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12 . Il s'agit de la forme développée.

Vérifier que, pour tout réel xx, on a : f(x)=2(x−3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) . Il s'agit de la forme factorisée.

Correction
Nous allons développer l'expression : f(x)=2(x−3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right). Ainsi :
f(x)=2(x−3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) équivaut successivement à :
f(x)=2(x×x+2×x+(−3)×x+(−3)×2)f\left(x\right)=2\left(x\times x+2\times x+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2\right)
f(x)=2(x2+2x−3x−6)f\left(x\right)=2\left(x^{2} +2x-3x-6\right)
f(x)=2(x2−x−6)f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x-6\right)
D'où :
f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12

Question 2

Vérifier que, pour tout réel xx, on a : f(x)=2(x−12)2−252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2} . Il s'agit de la forme canonique que l'on verra en première :)

Correction
f(x)=2(x−12)2−252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2} . Il faut développer cette expression. Ne pas oublier qu'il y a une identité remarquable .
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}
f(x)=2(x2−2×x×12+(12)2)−252f\left(x\right)=2\left(x^{2} -2\times x\times \frac{1}{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} \right)-\frac{25}{2}
f(x)=2(x2−x+14)−252f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x+\frac{1}{4} \right)-\frac{25}{2}
f(x)=2×x2−2×x+2×14−252f\left(x\right)=2\times x^{2} -2\times x+2\times \frac{1}{4} -\frac{25}{2}
f(x)=2x2−2x+12−252f\left(x\right)=2x^{2} -2x+\frac{1}{2} -\frac{25}{2}
f(x)=2x2−2x−242f\left(x\right)=2x^{2} -2x-\frac{24}{2}
Ainsi :
f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12

Question 3
Nous venons de démontrer que l'expression ff admet 33 formes possibles :
f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12 . Il s'agit de la forme développée.
f(x)=2(x−3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) . Il s'agit de la forme factorisée.
f(x)=2(x−12)2−252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2} . Il s'agit de la forme canonique que l'on verra en première :)
Utiliser la forme la plus adaptée pour :

Calculer f(0)f\left(0\right) .

Correction
Pour calculer f(0)f\left(0\right), nous allons utiliser la forme f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12. Ainsi :
f(0)=2×02−2×0−12f\left(0\right)=2\times0^{2} -2\times0-12
f(0)=−12f\left(0\right)=-12
Question 4

Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .

Correction
Pour résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0, il faudra utiliser la forme factorisée de ff, c'est à dire : f(x)=2(x−3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) . D'où :
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
2(x−3)(x+2)=02\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul. Comme 2>02>0, on a :
x−3=0x-3=0 ou x+2=0x+2=0
  • D'une part : résolvons x−3=0x-3=0 qui donne x=3x=3
  • D'autre part : résolvons x+2=0x+2=0 qui donne x=−2x=-2
    • Les solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 sont alors :
    S={−2;3}S=\left\{-2;3\right\}
    Question 5

    Résoudre l'équation f(x)=−252f\left(x\right)=-\frac{25}{2} .

    Correction
    Pour résoudre l'équation f(x)=−252f\left(x\right)=-\frac{25}{2}, il faudra utiliser la forme canonique de ff, c'est à dire : f(x)=2(x−12)2−252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2} . D'où :
    f(x)=−252f\left(x\right)=-\frac{25}{2}
    2(x−12)2−252=−2522\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{2}
    2(x−12)2=02\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0
    (x−12)2=02\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{0}{2}
    (x−12)2=0\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0

    • X2=0⇔X=0X^{2} =0\Leftrightarrow X=0
    x−12=0x-\frac{1}{2}=0
    x=12x=\frac{1}{2}
    La solution de l'équation f(x)=−252f\left(x\right)=-\frac{25}{2} est alors :
    S={12}S=\left\{\frac{1}{2}\right\}
    Question 6

    Résoudre l'équation f(x)=−12f\left(x\right)=-12 .

    Correction
    Pour résoudre l'équation f(x)=−12f\left(x\right)=-12, il faudra utiliser la forme développée de ff, c'est à dire : f(x)=2x2−2x−12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12 . D'où :
    f(x)=−12f\left(x\right)=-12 équivaut successivement à :
    2x2−2x−12=−122x^{2} -2x-12=-12
    2x2−2x=−12+122x^{2} -2x=-12+12
    2x2−2x=02x^{2} -2x=0
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    x×2×x−2×x=0 {\color{blue}x}\times 2\times x-2\times {\color{blue}x}=0 . On factorise maintenant par xx .
    x(2x−2)=0{\color{blue}x}\left(2x-2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    x=0x=0 ou 2x−2=02x-2=0
  • D'une part : résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D'autre part : résolvons 2x−2=02x-2=0 qui donne 2x=22x=2 d'où : x=22=1x=\frac{2}{2}=1
    • Les solutions de l'équation f(x)=−12f\left(x\right)=-12 sont alors :
    S={0;1}S=\left\{0;1\right\}