Exercices types : 1 ^ère partie - Exercice 1

Nous allons développer l'expression : $$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$. Ainsi :
$$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=2\left(x\times x+2\times x+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2\right)$$
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} +2x-3x-6\right)$$
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x-6\right)$$
D'où :

$$f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}$$ . Il faut développer cette expression. Ne pas oublier qu'il y a une identité remarquable .
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} -2\times x\times \frac{1}{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} \right)-\frac{25}{2}$$
$$f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x+\frac{1}{4} \right)-\frac{25}{2}$$
$$f\left(x\right)=2\times x^{2} -2\times x+2\times \frac{1}{4} -\frac{25}{2}$$
$$f\left(x\right)=2x^{2} -2x+\frac{1}{2} -\frac{25}{2}$$
$$f\left(x\right)=2x^{2} -2x-\frac{24}{2}$$
Ainsi :

Pour calculer $$f\left(0\right)$$, nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12$$. Ainsi :
$$f\left(0\right)=2\times0^{2} -2\times0-12$$

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$, il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$2\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul. Comme $$2>0$$, on a :
$$x-3=0$$ ou $$x+2=0$$

D'une part : résolvons $$x-3=0$$ qui donne $$x=3$$

D'autre part : résolvons $$x+2=0$$ qui donne $$x=-2$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ sont alors :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$, il faudra utiliser la forme canonique de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$
$$2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{2}$$
$$2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{0}{2}$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0$$
$$x-\frac{1}{2}=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$
La solution de l'équation $$f\left(x\right)=-\frac{25}{2}$$ est alors :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-12$$, il faudra utiliser la forme développée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=-12$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2} -2x-12=-12$$
$$2x^{2} -2x=-12+12$$
$$2x^{2} -2x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$${\color{blue}x}\times 2\times x-2\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $$x$$ .
$${\color{blue}x}\left(2x-2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$2x-2=0$$

D'une part : résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

D'autre part : résolvons $$2x-2=0$$ qui donne $$2x=2$$ d'où : $$x=\frac{2}{2}=1$$

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=-12$$ sont alors :