Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Vecteurs colinéaires - Exercice 3

8 min
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Pour toutes les questions de cet exercice, on considère un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) .
Dans chacun des cas suivants, dire si les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.
Question 1

Soient les points : A(2;5)A\left(2;5\right), B(0;1)B\left(0;1\right), C(2;8)C\left(2;8\right) et D(−1;2)D\left(-1;2\right)

Correction
  • Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} AB→(0−21−5)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {1-5} \end{array}\right) d'où AB→(−2−4)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-4} \end{array}\right)
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} CD→(−1−22−8)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-8} \end{array}\right) d'où CD→(−3−6)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)
    Or : (−2)×(−6)−(−4)×(−3)=12−12=0\left(-2\right)\times \left(-6\right)-\left(-4\right)\times \left(-3\right)=12-12=0.
    Nous avons donc
    det⁡(AB→;CD→)=0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=0

    Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
    Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.
    Question 2

    Soient les points : A(2;4)A\left(2;4\right), B(5;7)B\left(5;7\right), C(3;9)C\left(3;9\right).
    Déterminer les coordonnées du point DD de l'axe des abscisses tel que les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) soient parallèles.

    Correction
    On sait que le point DD appartient à l'axe des abscisses, il en résulte donc que D(x;0)D\left(x;0\right).
    Calculons maintenant les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD}
    D'une part : AB→(5−27−4)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {7-4} \end{array}\right) d'où AB→(33)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)
    D'autre part : CD→(x−39−7)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {9-7} \end{array}\right) d'où CD→(x−32)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {2} \end{array}\right)
    Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.
  • Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires. Ainsi :
    det⁡(AB→;CD→)=0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=0
    3×2−3×(x−3)=03\times 2-3\times \left(x-3\right)=0
    6−3x+9=06-3x+9=0
    −3x+15=0-3x+15=0
    −3x=−15-3x=-15
    x=3x=3

    Les coordonnées du point DD sont alors : D(3;0)D\left(3;0\right)