Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Vecteurs colinéaires - Exercice 2

12 min
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Pour toutes les questions de cet exercice, on considère un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) .
Dans chacun des cas suivants, dire si les points AA, BB et CC sont alignés.
Question 1

A(1;2)A\left(1;2\right), B(−2;5)B\left(-2;5\right), C(3;−1)C\left(3;-1\right)

Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AB→(−2−15−2)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {5-2} \end{array}\right) d'où AB→(−33)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} AC→(xC−xAyC−yA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AC→(3−1−1−2)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {3-1} \\ {-1-2} \end{array}\right) d'où AC→(2−3)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)
    Or : (−3)×(−3)−3×2=9−6=3≠0\left(-3\right)\times \left(-3\right)-3\times 2=9-6=3\ne 0.
    Nous avons donc
    det⁡(AB→;AC→)≠0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)\ne0

    Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
    Les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.
    Question 2

    A(0;−1)A\left(0;-1\right), B(−3;−7)B\left(-3;-7\right), C(1;1)C\left(1;1\right)

    Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AB→(−3−0−7−(−1))\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3-0} \\ {-7-\left(-1\right)} \end{array}\right) d'où AB→(−3−6)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} AC→(xC−xAyC−yA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AC→(1−01−(−1))\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1-0} \\ {1-\left(-1\right)} \end{array}\right) d'où AC→(12)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)
    Or : (−3)×2−(−6)×1=−6+6=0\left(-3\right)\times 2-\left(-6\right)\times 1=-6+6=0.
    Nous avons donc
    det⁡(AB→;AC→)=0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)=0

    Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
    Les points AA, BB et CC sont alignés.
    Question 3

    A(1;11)A\left(1;11\right), B(−1;1)B\left(-1;1\right), C(2;16)C\left(2;16\right)

    Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AB→(−1−11−11)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {1-11} \end{array}\right) d'où AB→(−2−10)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-10} \end{array}\right)
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} AC→(xC−xAyC−yA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right) ainsi AC→(2−116−11)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {16-11} \end{array}\right) d'où AC→(15)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right)
    Or : (−2)×5−(−10)×1=−10+10=0\left(-2\right)\times 5-\left(-10\right)\times 1=-10+10=0.
    Nous avons donc
    det⁡(AB→;AC→)=0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)=0

    Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
    Les points AA, BB et CC sont alignés.