Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Vecteurs colinéaires
Exercice 1
Soient u et v deux vecteurs. Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
1
u(1;2) et v(−2;4)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 1×4−2×(−2)=4+4=8=0 Nous avons donc
det(u;v)=0
Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
2
u(3−6) et v(−12)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 3×2−(−6)×(−1)=6−6=0 Nous avons donc
det(u;v)=0
Les vecteurs u et v sont colinéaires.
Le plan est muni du repère (0;i;j)
3
Montrer que les vecteurs u=72i−27j et v=4i−49j sont colinéaires.
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
Nous pouvons écrire les vecteurs u=72i−27j et v=4i−49j à l'aide de coordonnées. Il vient alors que : u(72−72) et v(4−49). On a : 72×(−49)−(−27)×4=0 Nous avons donc
det(u;v)=0
Les vecteurs u et v sont colinéaires.
4
u(3;4) et v(0;8)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 3×8−0×4=24=0 Nous avons donc
det(u;v)=0
Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
5
u(3;4) et v(524;532)
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 3×532−4×524=596−596=0 Nous avons donc
det(u;v)=0
Les vecteurs u et v sont colinéaires.
6
Soit m un réel. Déterminer la valeur de m afin que les vecteurs u(m;5) et v(2;1) soient colinéaires .
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : m×1−5×2=0 m−10=0 Donc
m=10
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : m=10 .
7
Soit m un réel. Déterminer la valeur de m afin que les vecteurs u(2;3m) et v(4;7) soient colinéaires .
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 2×7−3m×4=0 14−12m=0 −12m=−14 m=−12−14 Donc
m=67
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : m=67 .
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, dire si les points A, B et C sont alignés.
1
A(1;2), B(−2;5), C(3;−1)
Correction
Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
D’une part :AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(−2−15−2) d'où AB(−33) D’autre part :AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(3−1−1−2) d'où AC(2−3) Or : (−3)×(−3)−3×2=9−6=3=0. Nous avons donc
det(AB;AC)=0
Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.
2
A(0;−1), B(−3;−7), C(1;1)
Correction
Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
D’une part :AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(−3−0−7−(−1)) d'où AB(−3−6) D’autre part :AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(1−01−(−1)) d'où AC(12) Or : (−3)×2−(−6)×1=−6+6=0. Nous avons donc
det(AB;AC)=0
Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les points A, B et C sont alignés.
3
A(1;11), B(−1;1), C(2;16)
Correction
Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
D’une part :AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(−1−11−11) d'où AB(−2−10) D’autre part :AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(2−116−11) d'où AC(15) Or : (−2)×5−(−10)×1=−10+10=0. Nous avons donc
det(AB;AC)=0
Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les points A, B et C sont alignés.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, dire si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
1
Soient les points : A(2;5), B(0;1), C(2;8) et D(−1;2)
Correction
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
D’une part :AB(0−21−5) d'où AB(−2−4) D’autre part :CD(−1−22−8) d'où CD(−3−6) Or : (−2)×(−6)−(−4)×(−3)=12−12=0. Nous avons donc
det(AB;CD)=0
Les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Soient les points : A(2;4), B(5;7), C(3;9).
2
Déterminer les coordonnées du point D de l'axe des ordonnées tel que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.
Correction
On sait que le point D appartient à l'axe des ordonnées, il en résulte donc que D(x;0). Calculons maintenant les vecteurs AB et CD D'une part : AB(5−27−4) d'où AB(33) D'autre part : CD(x−39−7) d'où CD(x−32) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
Les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Ainsi : det(AB;CD)=0 3×2−3×(x−3)=0 6−3x+9=0 −3x+15=0 −3x=−15
x=3
Les coordonnées du point D sont alors : D(3;0)
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !
Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte. Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.
J'ai 20 en maths – et ses partenaires – utilisent des cookies aux fins de fournir leurs services. En utilisant le site, vous consentez à cette utilisation selon les modalités décrites dans nos Conditions générales d'utilisation et de vente.