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Vecteurs colinéaires - Exercice 1

20 min

Pour toutes les questions de cet exercice, on considère un repère orthonormé

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)

.
Soient

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.

Question 1

$\overrightarrow{u} \left(1;2\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)$

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

1\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0

Nous avons donc

\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

ne sont pas colinéaires.

Question 2

$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

3\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0

Nous avons donc

\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

sont colinéaires.

Question 3

Le plan est muni du repère $\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right)$
Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j}$ sont colinéaires.

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

Nous pouvons écrire les vecteurs

\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j}

à l'aide de coordonnées.
Il vient alors que :

\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {\dfrac{2}{7}} \\ {-\dfrac{7}{2}} \end{array}\right)

\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-49} \end{array}\right)

.
On a :

\frac{2}{7} \times \left(-49\right)-\left(-\frac{7}{2}\right)\times 4=0

Nous avons donc

\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

sont colinéaires.

Question 4

$\overrightarrow{u} \left(3;4\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(0;8\right)$

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

3\times 8-0\times 4=24\ne 0

Nous avons donc

\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

ne sont pas colinéaires.

Question 5

$\overrightarrow{u} \left(3;4\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)$

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

3\times \frac{32}{5} -4\times \frac{24}{5} =\frac{96}{5} -\frac{96}{5} =0

Nous avons donc

\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

sont colinéaires.

Question 6

Soit $m$ un réel. Déterminer la valeur de $m$ afin que les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(m;5\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(2;1\right)$ soient colinéaires .

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

m\times 1-5\times 2=0

m-10=0

Donc

m=10

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

sont colinéaires si et seulement si :

m=10

Question 7

Soit $m$ un réel. Déterminer la valeur de $m$ afin que les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(2;3m\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(4;7\right)$ soient colinéaires .

Correction

Soit

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

un repère du plan.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(x;y\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0$ autrement dit si : $xy'-x'y=0$ .
$\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y$ est appelé déterminant.
On peut également écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sous la forme $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)$ .

On a :

2\times 7-3m\times 4=0

14-12m=0

-12m=-14

m=\frac{-14}{-12}

Donc

m=\frac{7}{6}

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

\overrightarrow{v}

sont colinéaires si et seulement si :

m=\frac{7}{6}

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Vecteurs colinéaires - Exercice 1

u→(1;2)\overrightarrow{u} \left(1;2\right)u(1;2) et v→(−2;4)\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)v(−2;4)

u→(3−6)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right)u(3−6​) et v→(−12)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)v(−12​)

u→(3;4)\overrightarrow{u} \left(3;4\right)u(3;4) et v→(0;8)\overrightarrow{v} \left(0;8\right)v(0;8)

u→(3;4)\overrightarrow{u} \left(3;4\right)u(3;4) et v→(245;325)\overrightarrow{v} \left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)v(524​;532​)

Soit mmm un réel. Déterminer la valeur de mmm afin que les vecteurs u→(m;5)\overrightarrow{u} \left(m;5\right)u(m;5) et v→(2;1)\overrightarrow{v} \left(2;1\right)v(2;1) soient colinéaires .

Soit mmm un réel. Déterminer la valeur de mmm afin que les vecteurs u→(2;3m)\overrightarrow{u} \left(2;3m\right)u(2;3m) et v→(4;7)\overrightarrow{v} \left(4;7\right)v(4;7) soient colinéaires .

$\overrightarrow{u} \left(1;2\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)$

$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u} \left(3;4\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(0;8\right)$

$\overrightarrow{u} \left(3;4\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)$

Soit $m$ un réel. Déterminer la valeur de $m$ afin que les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(m;5\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(2;1\right)$ soient colinéaires .

Soit $m$ un réel. Déterminer la valeur de $m$ afin que les vecteurs $\overrightarrow{u} \left(2;3m\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(4;7\right)$ soient colinéaires .