Vecteurs colinéaires

On a : $1\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0$
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

On a : $3\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0$
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Nous pouvons écrire les vecteurs $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j}$ à l'aide de coordonnées.
Il vient alors que :
$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {\frac{2}{7}} \\ {-\frac{2}{7}} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-49} \end{array}\right)$.
On a : $\frac{2}{7} \times \left(-49\right)-\left(-\frac{7}{2}\right)\times 4=0$
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

On a : $3\times 8-0\times 4=24\ne 0$
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

On a : $3\times \frac{32}{5} -4\times \frac{24}{5} =\frac{96}{5} -\frac{96}{5} =0$
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

On a : $m\times 1-5\times 2=0$
$m-10=0$
Donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si : $m=10$ .

On a : $2\times 7-3m\times 4=0$
$14-12m=0$
$-12m=-14$
$m=\frac{-14}{-12}$
Donc
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si : $m=\frac{7}{6}$ .

$\red{\text{D'une part :}}$ $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {5-2} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {3-1} \\ {-1-2} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)$
Or : $\left(-3\right)\times \left(-3\right)-3\times 2=9-6=3\ne 0$.
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$\red{\text{D'une part :}}$ $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3-0} \\ {-7-\left(-1\right)} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1-0} \\ {1-\left(-1\right)} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)$
Or : $\left(-3\right)\times 2-\left(-6\right)\times 1=-6+6=0$.
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\red{\text{D'une part :}}$ $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {1-11} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-10} \end{array}\right)$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {16-11} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right)$
Or : $\left(-2\right)\times 5-\left(-10\right)\times 1=-10+10=0$.
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\red{\text{D'une part :}}$ $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {1-5} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-4} \end{array}\right)$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-8} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)$
Or : $\left(-2\right)\times \left(-6\right)-\left(-4\right)\times \left(-3\right)=12-12=0$.
Nous avons donc
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles.

On sait que le point $D$ appartient à l'axe des ordonnées, il en résulte donc que $D\left(x;0\right)$.
Calculons maintenant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$
D'une part : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {7-4} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$
D'autre part : $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {9-7} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {2} \end{array}\right)$
Les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Ainsi :
$\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=0$
$3\times 2-3\times \left(x-3\right)=0$
$6-3x+9=0$
$-3x+15=0$
$-3x=-15$

Les coordonnées du point $D$ sont alors : $D\left(3;0\right)$