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Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Vecteurs colinéaires - Exercice 1

20 min
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Pour toutes les questions de cet exercice, on considère un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) .
Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1

u→(1;2)\overrightarrow{u} \left(1;2\right) et v→(−2;4)\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×4−2×(−2)=4+4=8≠01\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)≠0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 2

u→(3−6)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right) et v→(−12)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×2−(−6)×(−1)=6−6=03\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 3

Le plan est muni du repère (O;i⃗;j⃗)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right)
Montrer que les vecteurs u→=27i→−72j→\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j} et v→=4i→−49j→\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j} sont colinéaires.

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Nous pouvons écrire les vecteurs u→=27i→−72j→\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{i}-\frac{7}{2}\overrightarrow{j} et v→=4i→−49j→\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}-49\overrightarrow{j} à l'aide de coordonnées.
Il vient alors que :
u→(27−27)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {\frac{2}{7}} \\ {-\frac{2}{7}} \end{array}\right) et v→(4−49)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-49} \end{array}\right).
On a : 27×(−49)−(−72)×4=0\frac{2}{7} \times \left(-49\right)-\left(-\frac{7}{2}\right)\times 4=0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 4

u→(3;4)\overrightarrow{u} \left(3;4\right) et v→(0;8)\overrightarrow{v} \left(0;8\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×8−0×4=24≠03\times 8-0\times 4=24\ne 0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)≠0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 5

u→(3;4)\overrightarrow{u} \left(3;4\right) et v→(245;325)\overrightarrow{v} \left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).

On a : 3×325−4×245=965−965=03\times \frac{32}{5} -4\times \frac{24}{5} =\frac{96}{5} -\frac{96}{5} =0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 6

Soit mm un réel. Déterminer la valeur de mm afin que les vecteurs u→(m;5)\overrightarrow{u} \left(m;5\right) et v→(2;1)\overrightarrow{v} \left(2;1\right) soient colinéaires .

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : m×1−5×2=0m\times 1-5\times 2=0
m−10=0m-10=0
Donc
m=10m=10

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si : m=10m=10 .
Question 7

Soit mm un réel. Déterminer la valeur de mm afin que les vecteurs u→(2;3m)\overrightarrow{u} \left(2;3m\right) et v→(4;7)\overrightarrow{v} \left(4;7\right) soient colinéaires .

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 2×7−3m×4=02\times 7-3m\times 4=0
14−12m=014-12m=0
−12m=−14-12m=-14
m=−14−12m=\frac{-14}{-12}
Donc
m=76m=\frac{7}{6}

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si : m=76m=\frac{7}{6} .