Un problème pour vérifier que toutes les notions sont comprises - Exercice 1

Nous savons que $$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$$. Les vecteurs $$\overrightarrow{CD}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont colinéaires.
Il en résulte donc que les cotés $$\left[CD\right]$$ et $$\left[AB\right]$$ sont parallèles.
Le quadrilatère $$ABDC$$ est alors un trapèze.

Notons $$D\left(x_{D};y_{D} \right)$$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{CD}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$.
$$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{C}} \\ {y_{D}-y_{C}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-\left(-5\right)} \\ {y_{D}-0} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}+5} \\ {y_{D}} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-\left(-2\right)} \\ {2-4} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$$
De plus : $$2\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4\times2} \\ {-2\times2} \end{array}\right)$$ ainsi $$2\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)$$.
Or nous savons que : $$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$$.
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x_{D}+5} \\ {y_{D}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}+5} & {=} & {8} \\ {y_{D}} & {=} & {-4} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}} & {=} & {8-5} \\ {y_{D}} & {=} & {-4} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$D$$ sont alors $$D\left(3;-4\right)$$

On note $$\overrightarrow{u}$$ un vecteur directeur de la droite $$\left(d\right)$$.
Ainsi : $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right)$$

Nous savons que $$B\left(2;2\right)$$ et $$D\left(3;-4\right)$$ . De plus l'équation cartésienne de la droite $$\left(d\right)$$ est $$6x+y-14=0$$.
Le point $$B\left(2;2\right)$$ appartient à l'équation cartésienne $$6x+y-14=0$$ si les coordonnées de $$B$$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $$6x_{B} +y_{B} -14=0$$.
Il vient alors que :
$$6x_{B} +y_{B} -14=6\times 2+2-14$$
$$6x_{B} +y_{B} -14=12+2-14$$
$$6x_{B} +y_{B} -14= 0$$
Il en résulte que le point $$B\left(2;2\right)$$ appartient bien à l'équation cartésienne $$6x+y-14=0$$.
Le point $$D\left(3;-4\right)$$ appartient à l'équation cartésienne $$6x+y-14=0$$ si les coordonnées de $$D$$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $$6x_{D} +y_{D} -14=0$$.
Il vient alors que :
$$6x_{D} +y_{D} -14=6\times 3-4-14$$
$$6x_{D} +y_{D} -14=18-4-14$$
$$6x_{D} +y_{D} -14= 0$$
Il en résulte que le point $$D\left(3;-4\right)$$ appartient bien à l'équation cartésienne $$6x+y-14=0$$.

Commençons par calculer le vecteur $$\overrightarrow{AC}$$.
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$ est un vecteur directeur de la droite $$\left(AC\right)$$.
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(AC \right)$$, on en déduit que : $$-b=-3$$ et $$a=-4$$. D'où : $$b=3$$ et $$a=-4$$.
Ainsi , on a : $$-4x+3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-2;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(AC \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-2;4\right)$$ vérifie $$-4x+3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-4x_{A} +3y_{A} +c=0$$
$$-4\times\left(-2\right)+3\times 4+c=0$$
$$8+12+c=0$$
$$20+c=0$$
$$c=-20$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AC \right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(-2;4\right)$$ est : $$-4x+3y-20=0$$.

D'après la question $$5$$, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AC \right)$$ est : $$-4x+3y-20=0$$.
D'après la question $$4$$, nous avons vu que les points $$B$$ et $$D$$ appartiennent à la droite $$\left(d\right)$$ : $$6x+y-14=0$$.
Il en résulte donc que l'équation cartésienne de la droite $$\left(BD\right)$$ est : $$6x+y-14=0$$.
Un vecteur directeur de la droite $$\left(BD\right)$$ est $$\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \end{array}\right)$$
Un vecteur directeur de la droite $$\left(AC\right)$$ est $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$
On a : $$-1\times \left(-4\right)-6\times \left(-3\right)=4+18=22\ne 0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ ne sont pas colinéaires. Les droites $$\left(BD\right)$$ et $$\left(AC\right)$$ ne sont pas parallèles, elle sont sécantes.

D'après la question $$5$$, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AC \right)$$ est : $$-4x+3y-20=0$$.
D'après la question $$4$$, l'équation cartésienne de la droite $$\left(BD\right)$$ est : $$6x+y-14=0$$.
Il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {6x} & {+} & {y} & {-} & {14} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $$1$$ et la deuxième ligne par $$-3$$ afin que les coefficients devant les $$y$$ soient opposées. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {-18x} & {+} & {-3y} & {+} & {42} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {-4x+3y-20+\left(-18x-3y+42\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x} & {+} & {3y} & {-} & {20} & {=} & {0} \\ {-22x} & {+} & {0y} & {+} & {22} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {-22x} & {=} & {-22} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {\frac{-22}{-22}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4\times1+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4\times1+3y-20} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-24+3y} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3y} & {=} & {24} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {\frac{24}{3}} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {8} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Les coordonnées de leur point d'intersection $$E$$ est alors $$E\left(1;8\right)$$.

On donne les points $$A\left(-2;4\right)$$, $$B\left(2;2\right)$$ , $$C\left(-5;0\right)$$ et $$D\left(3;-4\right)$$.
Il vient alors que :
D'une part :
$$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{K} =\frac{-2+2 }{2}$$
$$x_{K} =\frac{0}{2}$$

D'autre part :
$$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$y_{K} =\frac{4+2 }{2}$$
$$y_{K} =\frac{6}{2}$$
. Les coordonnées de $$K$$ milieu de $$\left[AB\right]$$ sont $$K\left(0;3\right)$$
Nous effectuons la même méthode pour trouver les coordonnées $$L$$ milieu de $$\left[CD\right]$$. Nous obtiendrons alors $$L\left(-1;-2\right)$$

Nous savons que $$K\left(0;3\right)$$ ; $$L\left(-1;-2\right)$$ et $$E\left(1;8\right)$$.
On commence par calculer les vecteurs $$\vec{EK}$$ et $$\overrightarrow{KL}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {x_{K}-x_{E}} \\ {y_{K}-y_{E}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {3-8} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {x_{L}-x_{K}} \\ {y_{L}-y_{K}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {-1-0} \\ {-2-3} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{KL} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)$$
Or : $$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{EK}$$ ainsi les vecteurs $$\overrightarrow{KL}$$ et $$\overrightarrow{EK}$$ sont colinéaires.
Donc les points $$E$$, $$K$$ et $$L$$ sont bien alignés.