Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Un problème pour vérifier que toutes les notions sont comprises
Exercice 1
On donne les points A(−2;4), B(2;2) et C(−5;0) et le point D tel que : CD=2AB.

1
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
Correction
Nous savons que CD=2AB. Les vecteurs CD et AB sont colinéaires.
Il en résulte donc que les cotés [CD] et [AB] sont parallèles.
Le quadrilatère ABDC est alors un trapèze.
Il en résulte donc que les cotés [CD] et [AB] sont parallèles.
Le quadrilatère ABDC est alors un trapèze.

2
Déterminer les coordonnées du point D.
Correction
Notons D(xD;yD) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs CD et AB.
CD(xD−xCyD−yC) ainsi CD(xD−(−5)yD−0) d'où : CD(xD+5yD)
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(2−(−2)2−4) d'où : AB(4−2)
De plus : 2AB(4×2−2×2) ainsi 2AB(8−4).
Or nous savons que : CD=2AB.
Il vient alors que :
(xD+5yD)=(8−4)
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
{xD+5yD==8−4
Ainsi :
{xDyD==8−5−4
Les coordonnées du point D sont alors D(3;−4)
CD(xD−xCyD−yC) ainsi CD(xD−(−5)yD−0) d'où : CD(xD+5yD)
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(2−(−2)2−4) d'où : AB(4−2)
De plus : 2AB(4×2−2×2) ainsi 2AB(8−4).
Or nous savons que : CD=2AB.
Il vient alors que :
(xD+5yD)=(8−4)
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
{xD+5yD==8−4
Ainsi :
{xDyD==8−5−4
{xDyD==3−4
Les coordonnées du point D sont alors D(3;−4)

Soit (d) la droite d'équation : 6x+y−14=0.

3
Donner un vecteur directeur de la droite (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(−16)
4
Vérifier que les points B et D appartiennent à (d).
Correction
Nous savons que B(2;2) et D(3;−4) . De plus l'équation cartésienne de la droite (d) est 6x+y−14=0.
Le point B(2;2) appartient à l'équation cartésienne 6x+y−14=0 si les coordonnées de B vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xB+yB−14=0.
Il vient alors que :
6xB+yB−14=6×2+2−14
6xB+yB−14=12+2−14
6xB+yB−14=0
Il en résulte que le point B(2;2) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y−14=0.
Le point D(3;−4) appartient à l'équation cartésienne 6x+y−14=0 si les coordonnées de D vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xD+yD−14=0.
Il vient alors que :
6xD+yD−14=6×3−4−14
6xD+yD−14=18−4−14
6xD+yD−14=0
Il en résulte que le point D(3;−4) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y−14=0.
Le point B(2;2) appartient à l'équation cartésienne 6x+y−14=0 si les coordonnées de B vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xB+yB−14=0.
Il vient alors que :
6xB+yB−14=6×2+2−14
6xB+yB−14=12+2−14
6xB+yB−14=0
Il en résulte que le point B(2;2) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y−14=0.
Le point D(3;−4) appartient à l'équation cartésienne 6x+y−14=0 si les coordonnées de D vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 6xD+yD−14=0.
Il vient alors que :
6xD+yD−14=6×3−4−14
6xD+yD−14=18−4−14
6xD+yD−14=0
Il en résulte que le point D(3;−4) appartient bien à l'équation cartésienne 6x+y−14=0.

5
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC).
Correction
Commençons par calculer le vecteur AC.
AC(xC−xAyC−yA) d'où : AC(−3−4)
AC(−3−4) est un vecteur directeur de la droite (AC).
Ainsi , on a : −4x+3y+c=0.
Or le point A(−2;4) appartient à la droite (AC), donc les coordonnées du point A(−2;4) vérifie −4x+3y+c=0.
Il vient alors que :
−4xA+3yA+c=0
−4×(−2)+3×4+c=0
8+12+c=0
20+c=0
c=−20
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AC) admettant u(−34) comme vecteur directeur et passant par le point A(−2;4) est : −4x+3y−20=0.
AC(xC−xAyC−yA) d'où : AC(−3−4)
AC(−3−4) est un vecteur directeur de la droite (AC).
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
AC(−3−4) étant un vecteur directeur de (AC), on en déduit que : −b=−3 et a=−4. D'où : b=3 et a=−4.Ainsi , on a : −4x+3y+c=0.
Or le point A(−2;4) appartient à la droite (AC), donc les coordonnées du point A(−2;4) vérifie −4x+3y+c=0.
Il vient alors que :
−4xA+3yA+c=0
−4×(−2)+3×4+c=0
8+12+c=0
20+c=0
c=−20
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AC) admettant u(−34) comme vecteur directeur et passant par le point A(−2;4) est : −4x+3y−20=0.
6
Prouver que les droites (BD) et (AC) sont sécantes.
Correction
D'après la question 5, l'équation cartésienne de la droite (AC) est : −4x+3y−20=0.
D'après la question 4, nous avons vu que les points B et D appartiennent à la droite (d) : 6x+y−14=0.
Il en résulte donc que l'équation cartésienne de la droite (BD) est : 6x+y−14=0.
Un vecteur directeur de la droite (BD) est v(−16)
Un vecteur directeur de la droite (AC) est AC(−3−4)
Les vecteurs AC et v ne sont pas colinéaires. Les droites (BD) et (AC) ne sont pas parallèles, elle sont sécantes.
D'après la question 4, nous avons vu que les points B et D appartiennent à la droite (d) : 6x+y−14=0.
Il en résulte donc que l'équation cartésienne de la droite (BD) est : 6x+y−14=0.
Un vecteur directeur de la droite (BD) est v(−16)
Un vecteur directeur de la droite (AC) est AC(−3−4)
Soit (0;i;j) un repère du plan.
On a : −1×(−4)−6×(−3)=4+18=22=0- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
- On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
Les vecteurs AC et v ne sont pas colinéaires. Les droites (BD) et (AC) ne sont pas parallèles, elle sont sécantes.

7
Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection E.
Correction
D'après la question 5, l'équation cartésienne de la droite (AC) est : −4x+3y−20=0.
D'après la question 4, l'équation cartésienne de la droite (BD) est : 6x+y−14=0.
Il nous faut résoudre le système suivant :
{−4x6x++3yy−−2014==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 1 et la deuxième ligne par −3 afin que les coefficients devant les y soient opposées. Il vient alors que :
{−4x−18x++3y−3y−+2042==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{−4x+3y−20−4x+3y−20+(−18x−3y+42)==00
{−4x−22x++3y0y−+2022==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{−4x+3y−20−22x==0−22
{−4x+3y−20x==0−22−22
{−4x+3y−20x==01
{−4×1+3y−20x==01
{−4×1+3y−20x==01
{−24+3yx==01
{3yx==241
{yx==3241
{yx==81
Les coordonnées de leur point d'intersection E est alors E(1;8).
D'après la question 4, l'équation cartésienne de la droite (BD) est : 6x+y−14=0.
Il nous faut résoudre le système suivant :
{−4x6x++3yy−−2014==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 1 et la deuxième ligne par −3 afin que les coefficients devant les y soient opposées. Il vient alors que :
{−4x−18x++3y−3y−+2042==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{−4x+3y−20−4x+3y−20+(−18x−3y+42)==00
{−4x−22x++3y0y−+2022==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{−4x+3y−20−22x==0−22
{−4x+3y−20x==0−22−22
{−4x+3y−20x==01
{−4×1+3y−20x==01
{−4×1+3y−20x==01
{−24+3yx==01
{3yx==241
{yx==3241
{yx==81
Les coordonnées de leur point d'intersection E est alors E(1;8).

8
Calculer les coordonnées de K milieu de [AB] et L milieu de [CD].
Correction
On donne les points A(−2;4), B(2;2) , C(−5;0) et D(3;−4).
D'une part :
xK=2xA+xB équivaut successivement à :
xK=2−2+2
xK=20
D'autre part :
yK=2yA+yB équivaut successivement à :
yK=24+2
yK=26
Nous effectuons la même méthode pour trouver les coordonnées L milieu de [CD]. Nous obtiendrons alors L(−1;−2)
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Il vient alors que :- Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
D'une part :
xK=2xA+xB équivaut successivement à :
xK=2−2+2
xK=20
xK=0
D'autre part :
yK=2yA+yB équivaut successivement à :
yK=24+2
yK=26
yK=3
. Les coordonnées de K milieu de [AB] sont K(0;3)Nous effectuons la même méthode pour trouver les coordonnées L milieu de [CD]. Nous obtiendrons alors L(−1;−2)

9
Démontrer que les points E, K et L sont alignés.
Correction
Nous savons que K(0;3) ; L(−1;−2) et E(1;8).
On commence par calculer les vecteurs EK et KL. Ainsi :
EK(xK−xEyK−yE) ainsi EK(0−13−8) d'où : EK(−1−5)
KL(xL−xKyL−yK) ainsi KL(−1−0−2−3) d'où : KL(−1−5)
Or : KL=EK ainsi les vecteurs KL et EK sont colinéaires.
Donc les points E, K et L sont bien alignés.
- Les points E, K et L sont alignés si, et seulement si les vecteurs EK et KL sont colinéaires.
EK(xK−xEyK−yE) ainsi EK(0−13−8) d'où : EK(−1−5)
KL(xL−xKyL−yK) ainsi KL(−1−0−2−3) d'où : KL(−1−5)
Or : KL=EK ainsi les vecteurs KL et EK sont colinéaires.
Donc les points E, K et L sont bien alignés.

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