Point d'intersection de deux droites données par leur équation réduite - Exercice 1

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On considère les droites (d1)\left(d_{1}\right) et (d2)\left(d_{2}\right) d'équations réduites respectives y=2x−1y=2x-1 et y=−x+5y=-x+5.
Question 1

Justifier que les droites (d1)\left(d_{1}\right) et (d2)\left(d_{2}\right) sont sécantes.

Correction
Soient deux droites d'équations réduites y=mx+py=mx+p et y=m′x+p′y=m'x+p'.
  • Si m≠m′m\neq m', les droites sont sécantes. L'abscisse de leur point d'intersection est la solution de l'équation mx+p=m′x+p′mx+p=m'x+p' ; son ordonnée s'obtient en remplaçant xx par cette valeur dans l'une des deux équations.
  • Si m=m′m=m', les droites sont parallèles : strictement parallèles si p≠p′p\neq p', confondues si p=p′p=p'.
    • La droite (d1)\left(d_{1}\right) a pour pente 22 et la droite (d2)\left(d_{2}\right) a pour pente −1-1.
    Comme 2≠−12\neq -1, les droites (d1)\left(d_{1}\right) et (d2)\left(d_{2}\right) sont sécantes.
    Question 2

    Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection II.

    Correction
    L'abscisse xx de II vérifie les deux équations à la fois, donc :
    2x−1=−x+52x-1=-x+5
    2x+x=5+12x+x=5+1
    3x=63x=6
    x=2x=2
    On remplace xx par 22 dans l'équation de (d1)\left(d_{1}\right) : y=2×2−1=3y=2\times 2-1=3.
    Vérification avec (d2)\left(d_{2}\right) : −2+5=3-2+5=3.
    Le point d'intersection des droites (d1)\left(d_{1}\right) et (d2)\left(d_{2}\right) est :
    I(2;3)I\left(2;3\right)

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