Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 1

Avec la formule A, on paie $$12$$ € par entrée : $$a\left(x\right)=12x$$.
Avec la formule B, on paie $$90$$ € une fois, plus $$6$$ € par entrée : $$b\left(x\right)=6x+90$$.
Avec la formule C, le prix ne dépend pas du nombre d'entrées : $$c\left(x\right)=270$$.
Les trois fonctions sont affines : $$a$$ est linéaire et $$c$$ est constante. Leurs représentations graphiques sont donc des droites.

La droite représentant $$c$$ a pour équation $$y=270$$ : elle est parallèle à l'axe des abscisses. C'est $$\left(D_{2}\right)$$.
La droite représentant $$a$$ a pour ordonnée à l'origine $$0$$ : elle passe par l'origine du repère. C'est $$\left(D_{3}\right)$$.
La droite représentant $$b$$ a pour ordonnée à l'origine $$90$$ : elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $$\left(0;90\right)$$. C'est $$\left(D_{1}\right)$$.
On peut aussi vérifier les pentes : $$\left(D_{3}\right)$$ ($$12$$) monte plus vite que $$\left(D_{1}\right)$$ ($$6$$).

Les pentes $$12$$ et $$6$$ sont différentes, donc les droites sont sécantes. L'abscisse de $$I$$ est la solution de l'équation :
$$12x=6x+90$$
$$12x-6x=90$$
$$6x=90$$
$$x=15$$
Et $$a\left(15\right)=12\times 15=180$$. Vérification : $$b\left(15\right)=6\times 15+90=180$$.
Le point d'intersection est $$I\left(15;180\right)$$ : pour $$15$$ entrées, les formules A et B coûtent le même prix, $$180$$ €.

$$6x+90=270$$
$$6x=180$$
$$x=30$$
Le point d'intersection est $$J\left(30;270\right)$$ : pour $$30$$ entrées, les formules B et C coûtent le même prix, $$270$$ €.

La formule la plus avantageuse est celle dont la droite est la plus basse.
Comparaison de A et B : $$12x\lt 6x+90 \Leftrightarrow 6x\lt 90 \Leftrightarrow x\lt 15$$. La formule A est moins chère que la formule B pour moins de $$15$$ entrées.
Comparaison de B et C : $$6x+90\lt 270 \Leftrightarrow 6x\lt 180 \Leftrightarrow x\lt 30$$. La formule B est moins chère que la formule C pour moins de $$30$$ entrées.
Conclusion :

pour moins de $$15$$ entrées, la formule A est la plus avantageuse ;

entre $$15$$ et $$30$$ entrées, c'est la formule B (pour exactement $$15$$ entrées, A et B coûtent $$180$$ € toutes les deux) ;

au-delà de $$30$$ entrées, c'est la formule C (pour exactement $$30$$ entrées, B et C coûtent $$270$$ € toutes les deux).