Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Exercices types : 33ème partie - Exercice 3

20 min
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On se place dans le repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) . On considère deux points A(2;0)A\left(-2;0\right) et B(4;3)B\left(4;3\right) et la droite (d)\left(d\right) d'équation cartésienne : 4x+2y6=04x+2y-6=0
Question 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)\left(AB\right) .

Correction
Nous allons calculer le vecteur AB\overrightarrow{AB} qui sera un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right).
AB(4(2)30)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4-\left(-2\right)} \\ {3-0} \end{array}\right) d'où AB(63)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)
AB(63)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de (AB)\left(AB\right), on en déduit que : b=6b=-6 et a=3a=3.
Ainsi , on a : 3x6y+c=03x-6y+c=0.
Or le point B(4;3)B\left(4;3\right) appartient à la droite (AB)\left(AB\right), donc les coordonnées du point B(4;3)B\left(4;3\right) vérifie 3x6y+c=03x-6y+c=0.
Il vient alors que :
3xB6yB+c=03x_{B} -6y_{B} +c=0
3×46×3+c=03\times 4-6\times3+c=0
1218+c=012-18+c=0
6+c=0-6+c=0
c=6c=6
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AB)\left(AB\right) est : 3x6y+6=03x-6y+6=0 que l'on peut aussi écrire x2y+2=0x-2y+2=0.
Question 2

Montrer que les droites (AB)\left(AB\right) et (d)\left(d\right) sont sécantes.

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(21)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (AB)\left(AB \right).
Soit u2(24)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {4} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d)\left(d\right).
Le vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : 2×41×(2)02\times 4-1\times\left(-2\right)\ne 0.
Les droites (AB)\left(AB \right) et (d)\left(d \right) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
Question 3

Déterminer les coordonnées du point HH , intersection des droites (AB)\left(AB\right) et (d)\left(d\right).

Correction
  • L'équation cartésienne de la droite (AB)\left(AB \right) est : x2y+2=0x-2y+2=0.
  • L'équation cartésienne de la droite (d)\left(d\right) est : 4x+2y6=04x+2y-6=0.
  • Il nous faut résoudre le système suivant :
    {x2y+2=04x+2y6=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {4x+2y-6} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 4-4 et la deuxième ligne par 11 afin que les coefficients devant les xx soient opposées. Il vient alors que :
    {4x+8y8=04x+2y6=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+8y-8} & {=} & {0} \\ {4x+2y-6} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
    {x2y+2=04x+8y8+(4x+2y6)=0\left\{\begin{array}{ccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {-4x+8y-8+\left(4x+2y-6\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {x2y+2=010y14=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {10y-14} & {=} & {0} \end{array}\right. . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
    {x2y+2=010y=14\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {10y} & {=} & {14} \end{array}\right.
    {x2y+2=0y=1410\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{14}{10}} \end{array}\right.
    {x2y+2=0y=75\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.
    {x2×75+2=0y=75\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2\times\frac{7}{5}+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.
    {x145+2=0y=75\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-\frac{14}{5}+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.
    {x45=0y=75\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-\frac{4}{5}} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.
    {x=45y=75\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{4}{5}} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.
    Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d \right) et (AB)\left(AB \right) est le point HH de coordonnées H(45;75)H\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right).
    Question 4
    Soit le point C(1;1)C\left(1;1\right)

    Le point CC appartient-il à (d)\left(d\right)?

    Correction
    Le point C(1;1)C\left(1;1\right) appartient à l'équation cartésienne 4x+2y6=04x+2y-6=0 si les coordonnées de CC vérifient l'équation.
    Autrement dit, il faut que 4xC+2yC6=04x_{C} +2y_{C} -6=0.
    Il vient alors que :
    4xC+2yC6=4×1+2×164x_{C} +2y_{C} -6=4\times 1+2\times 1-6
    4xC+2yC6=4+264x_{C} +2y_{C} -6=4+2-6
    4xC+2yC6=04x_{C} +2y_{C} -6=0
    Il en résulte que le point C(1;1)C\left(1;1\right) appartient bien à la droite (d)\left(d\right).