Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Exercices types : 3ème partie
Exercice 1
On se place dans le repère orthonormal (0;i;j) . Soit m un réel non nul et (d) la droite d'équation : 2x+3my−19=0
Dans chaque cas trouver le réel m tel que :
1
A(2;5) appartienne à (d) .
Correction
Le point A(2;5) appartient à l'équation cartésienne 2x+3my−19=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que 2xA+3m×yA−19=0. Il vient alors que : 2xA+3m×yA−19=0 équivaut successivement à : 2×2+3m×5−19=0 4+15m−19=0 15m−15=0 15m=15 m=1515
m=1
2
(d) soit parallèle à l'axe des ordonnées.
Correction
d est parallèle à l'axe des ordonnées si son équation cartésienne s'écrit :
x=une constante
. Nous avons 2x+3my−19=0, il vient alors que : 2x=−3my+19 x=2−3my+219 Il faut donc que m=0. On obtiendra donc :
x=219
. Il s'agit bien d'une équation de droite parallèle à l'axe des ordonnées.
3
2 soit le coefficient directeur de (d) .
Correction
Nous connaissons l'équation cartésienne de (d) qui est : 2x+3my−19=0. Il nous faut donc maintenant donner la forme réduite qui s'écrit y=mx+p. Et ensuite, il faut que le coefficient directeur soit égale à 2. Soit : 2x+3my−19=0 3my=−2x+19 y=3m−2x+3m19 . Le coefficient directeur ici vaut 3m−2. D'où : 3m−2=2 −2=2×3m 6m=−2 m=6−2
m=−31
.
Exercice 2
On se place dans le repère orthonorma(0;i;j) .
1
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P d'équation y=x2−5x−4 avec la droite (d) d'équation −x+y+9=0 .
Correction
Nous cherchons le(s) couple(s) (x,y) tel(s) que : {y−x+y+9==x2−5x−40 Ainsi : {yy==x2−5x−4x−9 De ce fait, il nous faut résoudre l'équation : x2−5x−4=x−9 x2−5x−4−x+9=0 x2−6x+5=0 Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−6)2−4×1×5 Δ=36−20=16 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−(−6)−16 d'où x1=1 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−(−6)+16 d'où x2=5 Les racines de l'équation x2−6x+5=0 sont donc :
S={1;5}
Il s'agit donc des abscisses des points d'intersection entre la parabole P et la droite (d). Pour obtenir les ordonnées, on remplace dans l'équation y=x−9. On en déduit que les deux points d'intersection sont : A(1;−8) et B(5;−4)
Exercice 3
On se place dans le repère orthonormal (0;i;j) . On considère deux points A(−2;0) et B(4;3) et la droite (d) d'équation cartésienne : 4x+2y−6=0
1
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) .
Correction
Nous allons calculer le vecteur AB qui sera un vecteur directeur de la droite (AB). AB(4−(−2)3−0) d'où AB(63) AB(63) étant un vecteur directeur de (AB), on en déduit que : b=−6 et a=3. Ainsi , on a : 3x−6y+c=0. Or le point B(4;3) appartient à la droite (AB), donc les coordonnées du point B(4;3) vérifie 3x−6y+c=0. Il vient alors que : 3xB−6yB+c=0 3×4−6×3+c=0 12−18+c=0 −6+c=0 c=6 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AB) est : 3x−6y+6=0 que l'on peut aussi écrire x−2y+2=0.
2
Montrer que les droites (AB) et (d) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(21) un vecteur de la droite (AB). Soit u2(−24) un vecteur de la droite (d). Le vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : 2×4−1×(−2)=0. Les droites (AB) et (d) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
3
Déterminer les coordonnées du point H , intersection des droites (AB) et (d).
Correction
L'équation cartésienne de la droite (AB) est : x−2y+2=0.
L'équation cartésienne de la droite (d) est : 4x+2y−6=0.
Il nous faut résoudre le système suivant : {x−2y+24x+2y−6==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par −4 et la deuxième ligne par 1afin que les coefficients devant les x soient opposées. Il vient alors que : {−4x+8y−84x+2y−6==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent. {x−2y+2−4x+8y−8+(4x+2y−6)==00 {x−2y+210y−14==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre : {x−2y+210y==014 {x−2y+2y==01014 {x−2y+2y==057 {x−2×57+2y==057 {x−514+2y==057 {x−54y==057 {xy==5457 Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d) et (AB) est le point H de coordonnées H(54;57).
Soit le point C(1;1)
4
Le point C appartient-il à (d)?
Correction
Le point C(1;1) appartient à l'équation cartésienne 4x+2y−6=0 si les coordonnées de C vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que 4xC+2yC−6=0. Il vient alors que : 4xC+2yC−6=4×1+2×1−6 4xC+2yC−6=4+2−6 4xC+2yC−6=0 Il en résulte que le point C(1;1) appartient bien à la droite (d).
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