Exercices types : $3$^ème partie

Le point $A\left(2;5\right)$ appartient à l'équation cartésienne $2x+3my-19=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $2x_{A} +3m\times y_{A} -19=0$.
Il vient alors que :
$2x_{A} +3m\times y_{A} -19=0$ équivaut successivement à :
$2\times2 +3m\times 5 -19=0$
$4 +15m -19=0$
$15m -15=0$
$15m =15$
$m =\frac{15}{15}$

$d$ est parallèle à l'axe des ordonnées si son équation cartésienne s'écrit : .
Nous avons $2x+3my-19=0$, il vient alors que :
$2x=-3my+19$
$x=\frac{-3m}{2}y+\frac{19}{2}$
Il faut donc que $m=0$. On obtiendra donc :
. Il s'agit bien d'une équation de droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Nous connaissons l'équation cartésienne de $\left(d\right)$ qui est : $2x+3my-19=0$. Il nous faut donc maintenant donner la forme réduite qui s'écrit $y=mx+p$. Et ensuite, il faut que le coefficient directeur soit égale à $2$.
Soit :
$2x+3my-19=0$
$3my=-2x+19$
$y=\frac{-2}{3m} x+\frac{19}{3m}$ . Le coefficient directeur ici vaut $\frac{-2}{3m}$.
D'où :
$\frac{-2}{3m} =2$
$-2=2\times 3m$
$6m=-2$
$m=\frac{-2}{6}$
.

Nous cherchons le(s) couple(s) $\left(x,y\right)$ tel(s) que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {x^{2}-5x-4} \\ {-x+y+9} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Ainsi :
$\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {x^{2}-5x-4} \\ {y} & {=} & {x-9} \end{array}\right.$
De ce fait, il nous faut résoudre l'équation :
$x^{2}-5x-4=x-9$
$x^{2}-5x-4-x+9=0$
$x^{2}-6x+5=0$
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 5$
$\Delta =36-20=16$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{16} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =1$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{16} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =5$
Les racines de l'équation $x^{2} -6x+5=0$ sont donc :
Il s'agit donc des abscisses des points d'intersection entre la parabole $P$ et la droite $\left(d\right)$.
Pour obtenir les ordonnées, on remplace dans l'équation $y=x-9$.
On en déduit que les deux points d'intersection sont : $A\left(1;-8\right)$ et $B\left(5;-4\right)$

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(AB\right)$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4-\left(-2\right)} \\ {3-0} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(AB\right)$, on en déduit que : $b=-6$ et $a=3$.
Ainsi , on a : $3x-6y+c=0$.
Or le point $B\left(4;3\right)$ appartient à la droite $\left(AB\right)$, donc les coordonnées du point $B\left(4;3\right)$ vérifie $3x-6y+c=0$.
Il vient alors que :
$3x_{B} -6y_{B} +c=0$
$3\times 4-6\times3+c=0$
$12-18+c=0$
$-6+c=0$
$c=6$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(AB\right)$ est : $3x-6y+6=0$ que l'on peut aussi écrire $x-2y+2=0$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(AB \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {4} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d\right)$.
Le vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $2\times 4-1\times\left(-2\right)\ne 0$.
Les droites $\left(AB \right)$ et $\left(d \right)$ ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.

L'équation cartésienne de la droite $\left(AB \right)$ est : $x-2y+2=0$.

L'équation cartésienne de la droite $\left(d\right)$ est : $4x+2y-6=0$.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {4x+2y-6} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $-4$ et la deuxième ligne par $1$ afin que les coefficients devant les $x$ soient opposées. Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4x+8y-8} & {=} & {0} \\ {4x+2y-6} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$\left\{\begin{array}{ccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {-4x+8y-8+\left(4x+2y-6\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {10y-14} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {10y} & {=} & {14} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{14}{10}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2y+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2\times\frac{7}{5}+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-\frac{14}{5}+2} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-\frac{4}{5}} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{4}{5}} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5}} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $\left(d \right)$ et $\left(AB \right)$ est le point $H$ de coordonnées $H\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$.

Le point $C\left(1;1\right)$ appartient à l'équation cartésienne $4x+2y-6=0$ si les coordonnées de $C$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $4x_{C} +2y_{C} -6=0$.
Il vient alors que :
$4x_{C} +2y_{C} -6=4\times 1+2\times 1-6$
$4x_{C} +2y_{C} -6=4+2-6$
$4x_{C} +2y_{C} -6=0$
Il en résulte que le point $C\left(1;1\right)$ appartient bien à la droite $\left(d\right)$.