Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

Nous savons que :
$$\overrightarrow{GA} =\frac{3}{5}\overrightarrow{GB}$$, il vient alors que :
$$5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GB}$$, puis d'après la relation de Chasles, on a :
$$5\overrightarrow{GA} =3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})$$
$$5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AB}$$
$$5\overrightarrow{GA} -3\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{AB}$$
$$2\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{AB}$$
D'où :

D'une part :
$$\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$$ d'après la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$$ . Comme $$ABCD$$ un parallélogramme alors $$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$$
$$\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$

D'autre part :
$$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AH}$$ d'après la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}$$ car $$\overrightarrow{GA} =\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$$
car $$\overrightarrow{AH} =3\overrightarrow{AC}$$

On sait que : $$\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{GD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$. Il en résulte donc que :

Les vecteurs $$\overrightarrow{GH}$$ et $$\overrightarrow{GD}$$ sont colinéaires. Les points $$G$$,$$D$$ et $$H$$ sont donc alignés.