Exercices types : $2$^ème partie

Dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)$, on a :
$A\left(0,0\right)$ ; $B\left(1,0\right)$ ; $C\left(1,1\right)$ et $D\left(0,1\right)$

$I$ est le milieu de $\left[AB\right]$ donc $I$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ;\frac{y_{A} +y_{B} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;0\right)$
$J$ est le milieu de $\left[DC\right]$ donc $J$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_{D} +x_{C} }{2} ;\frac{y_{D} +y_{C} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;1\right)$
Nous savons que $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . Or $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$ donc $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right)$.
De plus , $\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{A}} \\ {y_{E} -y_{A}} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right)$.
Comme $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ cela signifie que $\left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right)$
Les coordonnées du point $E$ sont alors : $E\left(\frac{1}{3} ;\frac{1}{3}\right)$

Il nous faut calculer les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{ID}$.

$\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {x_{J}-x_{B} } \\ {y_{J}-y_{B} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{2}-1 } \\ {1 -0} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$

$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{I} } \\ {y_{D}-y_{I} } \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {0-\frac{1}{2} } \\ {1 -0} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$

Les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont égaux, donc colinéaires. Les droites $\left(BJ\right)$ et $\left(ID\right)$ sont bien parallèles.

$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(ID \right)$, on en déduit que : $-b=-\frac{1}{2}$ et $a=1$. D'où : $b=\frac{1}{2}$ et $a=1$
Ainsi , on a : $x+\frac{1}{2}y+c=0$.
Or le point $D\left(0,1\right)$ appartient à la droite $\left(ID \right)$, donc les coordonnées du point $D\left(0,1\right)$ vérifie $x+\frac{1}{2}y+c=0$.
Il vient alors que :
$x_{D} +\frac{1}{2}y_{D} +c=0$
$0+\frac{1}{2}\times 1+c=0$
$\frac{1}{2}+c=0$
$c=-\frac{1}{2}$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(ID \right)$ est de la forme : $x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0$.

Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(AC \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(BJ \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires car : $1\times 2-1\times \left(-1\right)=3\ne 0$.
Les droites $\left(AC \right)$ et $\left(BJ \right)$ ne sont donc pas parallèles.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-y} & {=} & {0} \\ {2x+y-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$ . Nous pouvons résoudre ce système à l'aide de la méthode par substitution.
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {2x+x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x} & {=} & {2} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y=\frac{2}{3}} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$
Le point d'intersection des droites $\left(AC\right)$ et $\left(BJ\right)$ est le point $F$ de coordonnées $F\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$

Nous allons travailler dans un repère . Il s'agit du repère $\left(O;\overrightarrow{OM} ;\overrightarrow{ON} \right)$ que nous avons mis en rouge sur le graphique ci-dessous.
Il en résulte donc que nous avons maintenant les coordonnées des points $O\left(0,0\right)$ , $M\left(1,0\right)$ et $N\left(0,1\right)$
De plus :
$\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{O}} \\ {y_{M}-y_{O}} \end{array}\right)$ ce qui donne $\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{O}} \\ {y_{N}-y_{O}} \end{array}\right)$ ce qui donne $\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$
$1$^ère étape : Déterminer les coordonnées du point $A$.
Or, d'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que :
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LA}$.
Comme $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OJ}$ et que $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{LO}$ alors $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{LO}$. Ainsi : $\overrightarrow{LO}=3\overrightarrow{ON}$ . Enfin : $\overrightarrow{OL}=-3\overrightarrow{ON}$
Comme $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OI}$ et que $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{AL}$ alors $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AL}$. Ainsi : $\overrightarrow{AL}=4\overrightarrow{OM}$. Enfin : $\overrightarrow{LA}=-4\overrightarrow{OM}$
Nous avions : $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LA}$ qui s'écrit maintenant : $\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{ON}-4\overrightarrow{OM}$. Nous savons que : $\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$
et que $\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$
Il en résulte donc que : $\overrightarrow{OA}=-3\times\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)-4\times\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$. Finalement $\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-3} \end{array}\right)$. Comme le point $O$ est l'origine du repère alors les coordonnées du point $A$ sont $A\left(-4,-3\right)$
$2$^ème étape : Déterminer les coordonnées du point $C$.
Comme $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OI}$ alors $\overrightarrow{OI}=4\overrightarrow{OM}$
Comme $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OJ}$ alors $\overrightarrow{OJ}=3\overrightarrow{OM}$ . De plus : $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{IC}$ ainsi : $\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{OM}$
D'après la relation de Chasles, on a :
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}$
$\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{OM}$
$\overrightarrow{OC}=4\times\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+3\times\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$ . Comme le point $O$ est l'origine du repère alors les coordonnées du point $C$ sont $A\left(4,3\right)$.
$3$^ème étape : Calcul des vecteurs $\overrightarrow{NA}$ et $\overrightarrow{MC}$.
On a :
$\overrightarrow{NA} \left(\begin{array}{c} {x_{A}-x_{N}} \\ {y_{A}-y_{N}} \end{array}\right)$ ce qui donne $\overrightarrow{NA} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-4} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{MC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{M}} \\ {y_{C}-y_{M}} \end{array}\right)$ ce qui donne $\overrightarrow{MC} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$
On a : $-4\times 3-3\times \left(-4\right)=-12+12=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{NA}$ et $\overrightarrow{MC}$ sont colinéaires.
Les droites $\left(NA\right)$ et $\left(MC\right)$ sont bien parallèles.

Nous savons que :
$\overrightarrow{GA} =\frac{3}{5}\overrightarrow{GB}$, il vient alors que :
$5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GB}$, puis d'après la relation de Chasles, on a :
$5\overrightarrow{GA} =3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})$
$5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AB}$
$5\overrightarrow{GA} -3\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{AB}$
$2\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{AB}$
D'où :

D'une part :
$\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$ d'après la relation de Chasles :
$\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$ . Comme $ABCD$ un parallélogramme alors $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

D'autre part :
$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AH}$ d'après la relation de Chasles :
$\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}$ car $\overrightarrow{GA} =\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$
car $\overrightarrow{AH} =3\overrightarrow{AC}$

On sait que : $\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{GD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Il en résulte donc que :

Les vecteurs $\overrightarrow{GH}$ et $\overrightarrow{GD}$ sont colinéaires. Les points $G$,$D$ et $H$ sont donc alignés.