ABCD est un parallélogramme. E est le point tel que AE=31AC Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [DC]. On considère le repère (A,B,D) encore noté (A;AB;AD)
Question 1
Faites une figure.
Correction
Question 2
Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, B, D et C dans le repère (A;AB;AD) .
Correction
Dans le repère (A;AB;AD), on a : A(0,0) ; B(1,0) ; C(1,1) et D(0,1)
Question 3
Déterminer les coordonnées des points E , I et J. Justifier.
Correction
I est le milieu de [AB] donc I a pour coordonnées (2xA+xB;2yA+yB)=(21;0) J est le milieu de [DC] donc J a pour coordonnées (2xD+xC;2yD+yC)=(21;1) Nous savons que AE=31AC . Or AC(11) donc 31AC(3131). De plus , AE(xE−xAyE−yA) d'où : AE(xEyE). Comme AE=31AC cela signifie que (xEyE)=(3131) Les coordonnées du point E sont alors : E(31;31)
Question 4
Montrer que les droites (BJ) et (ID) sont parallèles.
Correction
Il nous faut calculer les vecteurs BJ et ID.
BJ(xJ−xByJ−yB) ainsi BJ(21−11−0) d'où BJ(−211)
ID(xD−xIyD−yI) ainsi ID(0−211−0) d'où ID(−211)
Les vecteurs BJ et ID sont égaux, donc colinéaires. Les droites (BJ) et (ID) sont bien parallèles.
Question 5
Déterminer une équation cartésienne de la droite (ID) .
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
ID(−211) étant un vecteur directeur de (ID), on en déduit que : −b=−21 et a=1. D'où : b=21 et a=1 Ainsi , on a : x+21y+c=0. Or le point D(0,1) appartient à la droite (ID), donc les coordonnées du point D(0,1) vérifie x+21y+c=0. Il vient alors que : xD+21yD+c=0 0+21×1+c=0 21+c=0 c=−21 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (ID) est de la forme : x+21y−21=0.
Question 6
On admet qu'une équation cartésienne de la droite (AC) est : x−y=0 et qu'une équation cartésienne de la droite (BJ) est : 2x+y−2=0 .
Montrer que les droites (AC) et (BJ) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(11) un vecteur de la droite (AC). Soit u2(−12) un vecteur de la droite (BJ). Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : 1×2−1×(−1)=3=0. Les droites (AC) et (BJ) ne sont donc pas parallèles.
Question 7
Soit F le point d'intersection des droites (AC) et (BJ) . Déterminer les coordonnées de F.
Correction
Il nous faut résoudre le système suivant : {x−y2x+y−2==00 . Nous pouvons résoudre ce système à l'aide de la méthode par substitution. {x2x+x−2==y0 {x3x−2==y0 {x3x==y2 {xx==y32 {xx==y=3232 Le point d'intersection des droites (AC) et (BJ) est le point F de coordonnées F(32,32)
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