Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Dans le repère $$\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)$$, on a :
$$A\left(0,0\right)$$ ; $$B\left(1,0\right)$$ ; $$C\left(1,1\right)$$ et $$D\left(0,1\right)$$

$$I$$ est le milieu de $$\left[AB\right]$$ donc $$I$$ a pour coordonnées $$\left(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ;\frac{y_{A} +y_{B} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;0\right)$$
$$J$$ est le milieu de $$\left[DC\right]$$ donc $$J$$ a pour coordonnées $$\left(\frac{x_{D} +x_{C} }{2} ;\frac{y_{D} +y_{C} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;1\right)$$
Nous savons que $$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$ . Or $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ donc $$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right)$$.
De plus , $$\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{A}} \\ {y_{E} -y_{A}} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right)$$.
Comme $$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$ cela signifie que $$\left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right)$$
Les coordonnées du point $$E$$ sont alors : $$E\left(\frac{1}{3} ;\frac{1}{3}\right)$$

Il nous faut calculer les vecteurs $$\overrightarrow{BJ}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$.

$$\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {x_{J}-x_{B} } \\ {y_{J}-y_{B} } \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{2}-1 } \\ {1 -0} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{I} } \\ {y_{D}-y_{I} } \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {0-\frac{1}{2} } \\ {1 -0} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$$

Les vecteurs $$\overrightarrow{BJ}$$ et $$\overrightarrow{ID}$$ sont égaux, donc colinéaires. Les droites $$\left(BJ\right)$$ et $$\left(ID\right)$$ sont bien parallèles.

$$\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(ID \right)$$, on en déduit que : $$-b=-\frac{1}{2}$$ et $$a=1$$. D'où : $$b=\frac{1}{2}$$ et $$a=1$$
Ainsi , on a : $$x+\frac{1}{2}y+c=0$$.
Or le point $$D\left(0,1\right)$$ appartient à la droite $$\left(ID \right)$$, donc les coordonnées du point $$D\left(0,1\right)$$ vérifie $$x+\frac{1}{2}y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$x_{D} +\frac{1}{2}y_{D} +c=0$$
$$0+\frac{1}{2}\times 1+c=0$$
$$\frac{1}{2}+c=0$$
$$c=-\frac{1}{2}$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(ID \right)$$ est de la forme : $$x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0$$.

Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(AC \right)$$.
Soit $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(BJ \right)$$.
Les vecteurs $$\overrightarrow{u_{1} }$$ et $$\overrightarrow{u_{2} }$$ ne sont pas colinéaires car : $$1\times 2-1\times \left(-1\right)=3\ne 0$$.
Les droites $$\left(AC \right)$$ et $$\left(BJ \right)$$ ne sont donc pas parallèles.

Il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-y} & {=} & {0} \\ {2x+y-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous pouvons résoudre ce système à l'aide de la méthode par substitution.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {2x+x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y=\frac{2}{3}} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.$$
Le point d'intersection des droites $$\left(AC\right)$$ et $$\left(BJ\right)$$ est le point $$F$$ de coordonnées $$F\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$$