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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

30 min
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ABCDABCD est un parallélogramme. EE est le point tel que AE→=13AC→\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}
Les points II et JJ sont les milieux respectifs des côtés [AB]\left[AB\right] et [DC]\left[DC\right].
On considère le repère (A,B,D)\left(A,B,D\right) encore noté (A;AB→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)
Question 1

Faites une figure.

Correction
Question 2

Donner, sans justifier, les coordonnées des points AA, BB, DD et CC dans le repère (A;AB→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right) .

Correction
Dans le repère (A;AB→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right), on a :
A(0,0)A\left(0,0\right) ; B(1,0)B\left(1,0\right) ; C(1,1)C\left(1,1\right) et D(0,1)D\left(0,1\right)
Question 3

Déterminer les coordonnées des points EE , II et JJ. Justifier.

Correction
II est le milieu de [AB]\left[AB\right] donc II a pour coordonnées (xA+xB2;yA+yB2)=(12;0)\left(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ;\frac{y_{A} +y_{B} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;0\right)
JJ est le milieu de [DC]\left[DC\right] donc JJ a pour coordonnées (xD+xC2;yD+yC2)=(12;1)\left(\frac{x_{D} +x_{C} }{2} ;\frac{y_{D} +y_{C} }{2} \right)=\left(\frac{1}{2} ;1\right)
Nous savons que AE→=13AC→\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} . Or AC→(11)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right) donc 13AC→(1313)\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right).
De plus , AE→(xE−xAyE−yA)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{A}} \\ {y_{E} -y_{A}} \end{array}\right) d'où : AE→(xEyE)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right).
Comme AE→=13AC→\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} cela signifie que (xEyE)=(1313)\left(\begin{array}{c} {x_{E} } \\ {y_{E} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \end{array}\right)
Les coordonnées du point EE sont alors : E(13;13)E\left(\frac{1}{3} ;\frac{1}{3}\right)
Question 4

Montrer que les droites (BJ)\left(BJ\right) et (ID)\left(ID\right) sont parallèles.

Correction
Il nous faut calculer les vecteurs BJ→\overrightarrow{BJ} et ID→\overrightarrow{ID}.
  • BJ→(xJ−xByJ−yB)\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {x_{J}-x_{B} } \\ {y_{J}-y_{B} } \end{array}\right) ainsi BJ→(12−11−0)\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{2}-1 } \\ {1 -0} \end{array}\right) d'où BJ→(−121)\overrightarrow{BJ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)
  • ID→(xD−xIyD−yI)\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{I} } \\ {y_{D}-y_{I} } \end{array}\right) ainsi ID→(0−121−0)\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {0-\frac{1}{2} } \\ {1 -0} \end{array}\right) d'où ID→(−121)\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right)
    • Les vecteurs BJ→\overrightarrow{BJ} et ID→\overrightarrow{ID} sont égaux, donc colinéaires. Les droites (BJ)\left(BJ\right) et (ID)\left(ID\right) sont bien parallèles.
    Question 5

    Déterminer une équation cartésienne de la droite (ID)\left(ID\right) .

    Correction
    L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u⃗(−ba)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
    ID→(−121)\overrightarrow{ID} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {1 } \end{array}\right) étant un vecteur directeur de (ID)\left(ID \right), on en déduit que : −b=−12-b=-\frac{1}{2} et a=1a=1. D'où : b=12b=\frac{1}{2} et a=1a=1
    Ainsi , on a : x+12y+c=0x+\frac{1}{2}y+c=0.
    Or le point D(0,1)D\left(0,1\right) appartient à la droite (ID)\left(ID \right), donc les coordonnées du point D(0,1)D\left(0,1\right) vérifie x+12y+c=0x+\frac{1}{2}y+c=0.
    Il vient alors que :
    xD+12yD+c=0x_{D} +\frac{1}{2}y_{D} +c=0
    0+12×1+c=00+\frac{1}{2}\times 1+c=0
    12+c=0\frac{1}{2}+c=0
    c=−12c=-\frac{1}{2}
    Finalement, l'équation cartésienne de la droite (ID)\left(ID \right) est de la forme : x+12y−12=0x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0.
    Question 6
    On admet qu'une équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right) est : x−y=0x-y=0 et qu'une équation cartésienne de la droite (BJ)\left(BJ\right) est : 2x+y−2=02x+y-2=0 .

    Montrer que les droites (AC)\left(AC\right) et (BJ)\left(BJ\right) sont sécantes.

    Correction
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
    Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
    xy′−x′y=0xy'-x'y=0
    Soit u1→(11)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (AC)\left(AC \right).
    Soit u2→(−12)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (BJ)\left(BJ \right).
    Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u2→\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : 1×2−1×(−1)=3≠01\times 2-1\times \left(-1\right)=3\ne 0.
    Les droites (AC)\left(AC \right) et (BJ)\left(BJ \right) ne sont donc pas parallèles.
    Question 7

    Soit FF le point d'intersection des droites (AC)\left(AC\right) et (BJ)\left(BJ\right) . Déterminer les coordonnées de FF.

    Correction
    Il nous faut résoudre le système suivant :
    {x−y=02x+y−2=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-y} & {=} & {0} \\ {2x+y-2} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous pouvons résoudre ce système à l'aide de la méthode par substitution.
    {x=y2x+x−2=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {2x+x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {x=y3x−2=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x-2} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {x=y3x=2\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {3x} & {=} & {2} \end{array}\right.
    {x=yx=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
    {x=y=23x=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {y=\frac{2}{3}} \\ {x} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
    Le point d'intersection des droites (AC)\left(AC\right) et (BJ)\left(BJ\right) est le point FF de coordonnées F(23,23)F\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)