Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Exercices types : 2ème partie
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme. E est le point tel que AE=31AC Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [DC]. On considère le repère (A,B,D) encore noté (A;AB;AD)
1
Faites une figure.
Correction
2
Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, B, D et C dans le repère (A;AB;AD) .
Correction
Dans le repère (A;AB;AD), on a : A(0,0) ; B(1,0) ; C(1,1) et D(0,1)
3
Déterminer les coordonnées des points E , I et J. Justifier.
Correction
I est le milieu de [AB] donc I a pour coordonnées (2xA+xB;2yA+yB)=(21;0) J est le milieu de [DC] donc J a pour coordonnées (2xD+xC;2yD+yC)=(21;1) Nous savons que AE=31AC . Or AC(11) donc 31AC(3131). De plus , AE(xE−xAyE−yA) d'où : AE(xEyE). Comme AE=31AC cela signifie que (xEyE)=(3131) Les coordonnées du point E sont alors : E(31;31)
4
Montrer que les droites (BJ) et (ID) sont parallèles.
Correction
Il nous faut calculer les vecteurs BJ et ID.
BJ(xJ−xByJ−yB) ainsi BJ(21−11−0) d'où BJ(−211)
ID(xD−xIyD−yI) ainsi ID(0−211−0) d'où ID(−211)
Les vecteurs BJ et ID sont égaux, donc colinéaires. Les droites (BJ) et (ID) sont bien parallèles.
5
Déterminer une équation cartésienne de la droite (ID) .
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
ID(−211) étant un vecteur directeur de (ID), on en déduit que : −b=−21 et a=1. D'où : b=21 et a=1 Ainsi , on a : x+21y+c=0. Or le point D(0,1) appartient à la droite (ID), donc les coordonnées du point D(0,1) vérifie x+21y+c=0. Il vient alors que : xD+21yD+c=0 0+21×1+c=0 21+c=0 c=−21 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (ID) est de la forme : x+21y−21=0.
On admet qu'une équation cartésienne de la droite (AC) est : x−y=0 et qu'une équation cartésienne de la droite (BJ) est : 2x+y−2=0 .
6
Montrer que les droites (AC) et (BJ) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(11) un vecteur de la droite (AC). Soit u2(−12) un vecteur de la droite (BJ). Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : 1×2−1×(−1)=3=0. Les droites (AC) et (BJ) ne sont donc pas parallèles.
7
Soit F le point d'intersection des droites (AC) et (BJ) . Déterminer les coordonnées de F.
Correction
Il nous faut résoudre le système suivant : {x−y2x+y−2==00 . Nous pouvons résoudre ce système à l'aide de la méthode par substitution. {x2x+x−2==y0 {x3x−2==y0 {x3x==y2 {xx==y32 {xx==y=3232 Le point d'intersection des droites (AC) et (BJ) est le point F de coordonnées F(32,32)
Exercice 2
ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points I , J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [BC], [CD] , [DA] et [AB]. M et N sont les points définis par : OM=41OI et ON=31OJ
1
Faites une figure.
Correction
2
Les droites (NA) et (MC) sont-elles parallèles? Justifier bien entendu votre réponse.
Correction
Nous allons travailler dans un repère . Il s'agit du repère (O;OM;ON) que nous avons mis en rouge sur le graphique ci-dessous.
Il en résulte donc que nous avons maintenant les coordonnées des points O(0,0) , M(1,0) et N(0,1) De plus : OM(xM−xOyM−yO) ce qui donne OM(10) ON(xN−xOyN−yO) ce qui donne ON(01) 1ère étape : Déterminer les coordonnées du point A. Or, d'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que : OA=OL+LA. Comme ON=31OJ et que OJ=LO alors ON=31LO. Ainsi : LO=3ON . Enfin : OL=−3ON Comme OM=41OI et que OI=AL alors OM=41AL. Ainsi : AL=4OM. Enfin : LA=−4OM Nous avions : OA=OL+LA qui s'écrit maintenant : OA=−3ON−4OM. Nous savons que : OM(10) et que ON(01) Il en résulte donc que : OA=−3×(01)−4×(10). Finalement OA=(−4−3). Comme le point O est l'origine du repère alors les coordonnées du point A sont A(−4,−3) 2ème étape : Déterminer les coordonnées du point C. Comme OM=41OI alors OI=4OM Comme ON=31OJ alors OJ=3OM . De plus : OJ=IC ainsi : IC=3OM D'après la relation de Chasles, on a : OC=OI+IC OC=4OM+3OM OC=4×(10)+3×(01) OC=(43) . Comme le point O est l'origine du repère alors les coordonnées du point C sont A(4,3). 3ème étape : Calcul des vecteurs NA et MC. On a : NA(xA−xNyA−yN) ce qui donne NA(−4−4) MC(xC−xMyC−yM) ce qui donne MC(33)
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On a : −4×3−3×(−4)=−12+12=0 Les vecteurs NA et MC sont colinéaires. Les droites (NA) et (MC) sont bien parallèles.
Exercice 3
Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points G et H par : GA=53GB et AH=3AC.
1
Exprimer le vecteur GA en fonction du vecteur AB
Correction
Nous savons que : GA=53GB, il vient alors que : 5GA=3GB, puis d'après la relation de Chasles, on a : 5GA=3(GA+AB) 5GA=3GA+3AB 5GA−3GA=3AB 2GA=3AB D'où :
GA=23AB
2
Exprimer les vecteur GD et GH en fonction des vecteur AB et AC.
Correction
D'une part : GD=GA+AC+CD d'après la relation de Chasles : GD=23AB+AC+CD . Comme ABCD un parallélogramme alors CD=−AB GD=23AB+AC−AB
GD=21AB+AC
D'autre part : GH=GA+AH d'après la relation de Chasles : GH=23AB+AH car GA=23AB
GH=23AB+3AC
car AH=3AC
3
Que peut-on en déduire pour les points G,D et H.
Correction
On sait que : GH=23AB+3AC et GD=21AB+AC. Il en résulte donc que :
GH=3GD
Les vecteurs GH et GD sont colinéaires. Les points G,D et H sont donc alignés.
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